Enrique Rivers debutó en la Primera División en 1978 con el equipo de su ciudad natal, la Asociación Deportiva Limonense, cuando solo contaba con 17 años.

Realizó la mayor parte de su carrera profesional con ese equipo, donde se mantuvo ininterrumpidamente hasta 1984.

En 1985 jugó un torneo con la Asociación Deportiva Guanacasteca de la Segunda División, club con el que ascendió a la primera categoría ese mismo año.

Rivers se retiró del fútbol profesional en 1993 a los 32 años, jugando con Limonense, motivado por una persistente lesión en la misma rodilla que ya no le permitía continuar.

Rivers fue parte del proceso rumbo a la segunda Capa Mundial Juvenil, realizada en Japón en 1979.