Su hijo Luigi Carzino siguió los pasos de su padre como portero de fútbol.
Enrico creció en la Pro Liguria que luego fue absorbido por laSampierdarenese donde debutó en la temporada 1919-1920.
En su carrera en Sampierdarenese obtuvo el cuarto lugar en las preliminares de liga en la temporada 1919-1920, un quinto puesto en la temporada siguiente, en segundo lugar en 1921-1922, el tercer lugar en el Grupo A de la Primera División 1922-1923, el noveno en el Grupo A de la Primera División 1923-1924 y el décimo en su última temporada.
Carzino dejó en 1925 Sampierdarenese y se trasladó al Genoa, donde debutó el 2 de enero de 1927, en la victoria ante el Napoli terminó 3-2 en el campo a la mesa de Liguria y siempre a favor de Génova por 2-0.
Luego se retira en el club en 1933 en el Imperia, tercera división de Italia.