Debutó en el primer equipo a los 15 años en sustitución del portero Gregoratto, que se incorporó como regatista.

Su padre hubiera preferido que Enrico se quedara en Pontremoli para terminar sus estudios, pero su madre lo convenció de la oportunidad que no debía desaprovechar y así en La Spezia, Albertosi creció como futbolista aficionado.

Allí permaneció hasta 1958, después de haber debutado en el primer equipo en casa, en el estadio Alberto Picco, frente a un gran club del pasado: el Novese.

Con el traspaso de Sarti al Inter se convirtió en titular y permaneció así durante otras cinco temporadas, hasta 1968.

Luego permaneció en Cagliari durante otras cuatro temporadas, antes de ser vendido al Milán.

Luego fue convocado como portero suplente para el campeonato mundial de 1962 en Chile, donde el dueño era Lorenzo Buffon.

Albertosi estaba compitiendo con William Negri por la posición titular, pero una lesión grave le impidió participar en el campeonato mundial de 1966.

Con cuatro Mundiales disputados, Albertosi es segundo, por detrás de Gianluigi Buffon, entre los jugadores italianos con más participación en la competición del campeonato mundial, a la par de Giuseppe Bergomi, Fabio Cannavaro, Paolo Maldini, Gianni Rivera y Zoff.