Drury nació en la calle Wood Lane, Londres.

Su padre era orfebre y Dru tomó las riendas del negocio en 1748.

Se retiró como platero en 1789 para dedicar todo su tiempo a la entomología.

Murió en Turnham Green y fue enterrado en St Martin-in-the-Fields.

La abreviatura Drury se emplea para indicar a Dru Drury como autoridad en la descripción y taxonomía en zoología.