En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Boole estipula que para toda familia finita o numerable de sucesos, la probabilidad de que al menos uno de esos sucesos ocurra es menor o igual a la suma de las probabilidades de los sucesos individuales.
De manera más formal, Teorema: Primero se trata, por inducción, el caso de una familia finita
de sucesos.
Se trata de probar que
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}\right)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})}
La desigualdad es cierta para
Supuesta cierta para un
dado, se considera una familia
{\displaystyle \mathbb {P} (E)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})}
(hipótesis de inducción).
Ahora se trata el caso de una familia numerable
de sucesos.
Para todo número natural
(distinto de cero), sea
{\displaystyle \mathbb {P} (E_{n})\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})}
La desigualdad de Boole se comprueba por paso al límite sobre
y para todo
{\displaystyle \lim \mathbb {P} (E_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)}
Otro método que trata a la vez el caso finito y el caso numerable: sea
y para todo
{\displaystyle A'_{n}=A_{n}\setminus (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n-1})}
, y los sucesos
son incompatibles dos a dos; por otra parte, para todo
{\displaystyle n,A'_{n}\subset A_{n}}
{\displaystyle \mathbb {P} (A'_{n})\leq \mathbb {P} (A_{n})}
De todo esto, se deduce que
{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A'_{n}\right)=\sum _{n}\mathbb {P} (A'_{n})\leq \sum _{n}\mathbb {P} (A_{n})}
En lenguaje de la teoría de la medida, la desigualdad de Boole se deriva del hecho de que una medida de probabilidad es σ-subaditiva, como es el caso de toda medida.
Las llamadas desigualdades de Bonferroni generalizan la desigualdad de Boole y proporcionan mayorantes y minorantes de la probabilidad de uniones finitas de sucesos.
Sean: y para 2 < k ≤ n, donde la suma de realiza sobre todas las k-uplas estrictamente crecientes de enteros positivos comprendidos entre 1 y n. Entonces para todo entero positivo impar k tal que 1 ≤ k ≤ n y para todo entero positivo par k tal que 2 ≤ k ≤ n La desigualdad de Boole se da para k = 1.