Demostración de la irracionalidad de e

Inicialmente se supone que e es un número racional de la forma a/b.

Se define el número Notar que x es un entero, se sustituye e = a/b en esta definición para obtener El primer término es un entero, y cada fracción en la suma es un entero ya que n≤b para cada término.

Primero, insertamos la serie que representa al número e esto es

, en la definición de x para obtener Para todos los términos con n ≥ b + 1 tenemos el estimado superior el cual es estricto aun para cada n ≥ b + 2.

Cambiando el índice de la sumatoria a k = n – b y usando la fórmula para la serie geométrica infinita, obtenemos Como no hay un entero entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, y por lo tanto, e debe ser irracional.