Participó en cinco Grandes Premios de Fórmula 1, debutando el 13 de mayo de 1950,[1] y también fundó el equipo Ecurie Ecosse, con sede en Merchiston Mews en Edimburgo.
Murray era un contador público de profesión y corrió en el equipo English Racing Automobiles (ERA) y posteriormente un Maserati 4CLT tanto en el país como en eventos europeos, antes de formar Ecurie Ecosse en 1952.
También participó en mítines y subidas de colinas.
Después de un evento del Campeonato del Mundo, para Ecosse, Murray se retiró como piloto para concentrarse en dirigir el equipo.
Ecurie Ecosse ganó la carrera de las 24 Horas de Le Mans tanto en 1956 como en 1957, cada vez con un Jaguar D-Type.