Curva de Bézier

Las curvas de Bézier fueron publicadas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés, Pierre Bézier y posteriormente, trabajando en la Renault, las usó con abundancia en el diseño de las diferentes partes del automóvil.Las curvas fueron desarrolladas por Paul de Casteljau usando el algoritmo que lleva su nombre.) quedaría como: Esta ecuación puede ser expresada de manera recursiva como sigue: sea la expresiónque denota la curva de Bézier determinada por los puntos P0, P1,..., Pn.Existe una terminología asociada exclusivamente para este tipo de curvas.Estas curvas poli-Bézier pueden ser observadas en el formato de archivo SVG.El método más simple para rasterizar una curva de Bézier es evaluarla en muchos puntos espaciados, muy próximos entre sí, y escanearla aproximando la secuencia de segmentos lineales.Esta manera de proceder no garantiza un resultado con la suficiente suavidad porque los puntos pueden estar espaciados demasiado separados.Un método adoptado, muy común, es la subdivisión recursiva, en el que los puntos de control de la curva son ajustados para ver si la curva se aproxima a segmentos lineales sin pequeñas tolerancias.Si esto no se logra, la curva es subdividida paramétricamente en dos segmentosy el mismo procedimiento se aplica por recursividad a cada mitad.También hay métodos que usan la diferenciación, pero se debe tener cuidado y analizar los errores de propagación.Los métodos analíticos donde un desdoble es intersecado con cada línea escaneada hallando raíces de polinomios de grado tres (por segmentación cúbica) y con múltiples raíces, pero no son frecuentes en la práctica.Incluso el método directo ilustrado aquí es más fácil de comprender y produce el mismo resultado.El siguiente código ha sido compilado para hacer esta operación más clara.Aquí son recalculados cada vez, lo que es menos eficiente pero ayuda a clarificar el código.Por aplicación repetida, el bucle puede ser reescrito sin ninguna multiplicación, aunque tal procedimiento no es numéricamente estable.Cuando se usa de este modo, la distancia entre puntos sucesivos puede llegar a ser muy importante y, en general, estos no están espaciados de manera ecuánime.Si se requiere una linealidad en el movimiento, para procesar el cálculo más rápido, incluso en contra del camino deseado es necesario desdoblar los puntos resultantes.Dados n + 1 puntos de control Pi, la curva racional puede ser descrita por: o simplemente: