En 1622 fue destinado a Paraguay donde llegó con otros 22 misioneros.
Desde 1625 se le encuentra en Chile misionando entre los mapuches y en el Perú donde fundó la escuela de Cuenca.
De vuelta a España, Acuña presentó al rey Felipe IV su obra Nuevo descubrimiento del Gran Río de las Amazonas[1] en la que aconseja la conquista y evangelización de esa zona.
La edición francesa fue la primera en incluir mapas basados en las descripciones de Acuña.
Finalmente, regresó a las Indias Occidentales y se estableció en Lima, donde murió.