Probablemente nació a principios de los años 50, en la ciudad de Pérgamo;[1]​ su hermana se llamaba Julia Pola[2]​ y Ronald Syme cree que estaba relacionado con el senador Gayo Julio Cuadrato Baso, aunque Cuadrato era miembro de la tribu romana Voltina y Baso pertenecía a la tribu Fabia.

[3]​ Olli Salomies ha argumentado que su familia provenía de la Galia Narbonensis, y al nacer, su nombre era Aulo Julio Cuadrato, quien más tarde fue adoptado por un Cayo Ancio de Pérgamo.

[7]​ Se le vuelve a mencionar en el Acta Arvalia desde enero del año 86 hasta mayo del año 89, lo que indica que residía en Roma durante ese tiempo.

[8]​ Posteriormente, sirvió como gobernador de Licia y Panfilia desde el año 89 hasta 93.

[9]​ En algún momento entre 89 y 94, Cuadrato agregó el prefijo "Gaius Antius" a su nombre, probablemente como un requisito para aceptar una herencia de algún conocido.