Como con todos los cardinales grandes, ninguna variedad de los cardinales de Mahlo pueden ser demostrados mediante ZFC (asumiendo que ZFC es consistente).
Los límites de esa secuencia serían club en κ.
con la propiedad necesaria debido a que {2,3,4,...} es club en ω pero no contiene ordinales regulares; por lo tanto k es incontable.
Además es un límite regular de los cardinales regulares; por lo tanto es débilmente inaccesible.
Además el conjunto club coincide con el conjunto estacionario de los cardinales débilmente inaccesibles menores que κ para obtener un conjunto estacionario de cardinales fuertemente inaccesibles menores que κ.
Es ilimitado en κ (imagine una rotación a través de los β-inaccesibles para β < α ω-veces eligiendo a un cardinal grande cada vez, tomando luego el límite el cual es menor que κ por regularidad (esto es lo que no se cumple si α ≥ κ).
Consecuentemente, al ser κ Mahlo, contiene un inaccesible.
Para demostrar que κ es un límite de los hiper-inaccesibles y por consiguiente de los 1-hiper-inaccesibles, necesitamos demostrar que el conjunto diagonal de cardinales μ < κ los cuales son α-inaccesibles para todo α < μ es club en κ. Elegimos un 0-inaccesible por encima del umbral, llamado α0.
Debido a que κ es Mahlo, hay un inaccesible en este conjunto y es hiper-inaccesible.
El término α-Mahlo es ambiguo y diferentes autores dan definiciones distintas.
Un cardinal κ es un "buen Mahlo" o Mahlo κ+ si y sólo si es inaccesible y existe un filtro normal κ-completo (es decir no trivial y cerrada bajo intersecciones diagonales) en el conjunto poder de κ que está cerrado bajo la operación de Mahlo, el cual traza el conjunto de los ordinales S a {α
Todos los cardinales reflectantes tienen estrictamente mayor consistencia que un "buen Mahlo", pero los cardinales reflectantes inaccesibles no son en general Mahlo -- ver https://mathoverflow.net/q/212597 Si X es una clase de ordinales, entonces podemos formar una nueva clase de ordinales M(X) integrada por los ordinales α de cofinalidad incontable tal que α∩X es estacionario en α.
El requisito de que α tiene cofinalidad incontable garantiza que los subconjuntos ilimitados cercanos de α están cerrados bajo intersección y por tanto forma un filtrado; en la práctica los elementos de X suelen tener cofinalidad incontable en el cual esta condición es redundante.
La operación de Mahlo diagonalizada genera los cardinales hiper-Mahlo, entre otros.
El axioma F es la afirmación de que toda función normal sobre los ordinales tiene un punto fijo regular.
Un cardinal es Mahlo si toda función normal sobre él tiene un punto fijo regular, por lo tanto el axioma F de alguna forma supone que toda la clase de ordinales es Mahlo.
El axioma F a su vez es equivalente a la declaración de cualquier fórmula φ con parámetros en la que exista arbitrariamente ordinales grandes inaccesibles α como Vα refleja φ (en otras palabras φ contiene Vα si y sólo si contiene en sí el universo entero).