Cadena de Ehrenfest

La cadena de Ehrenfest, llamada así en honor al físico y matemático austriaco Paul Ehrenfest, es una cadena de Márkov en tiempo discreto usada para modelar el intercambio de moléculas de gas entre dos urnas.

Supongamos que tenemos dos urnas,

En ellas están distribuidas d bolas numeradas; en cada paso, se elige un número al azar entre {1,2,...,d}.

A continuación se observa en qué urna está la bola con el número elegido y se cambia de urna.

la variable aleatoria que denota el número de bolas contenidas en la urna

al tiempo n. El espacio de estados será entonces E={0,1,2,...,d} y la matriz de transición estará dada por:

x , y

( d − x )

x < d , y = x + 1

{\displaystyle P_{x,y}={\begin{cases}x/d&{\mbox{si }}x>0,y=x-1\\(d-x)/d&{\mbox{si }}x

Para la cadena de Ehrenfest: Como consecuencia de las anteriores propiedades, resulta que la cadena tiene un único vector de probabilidad invariante para su matriz de transición y está dado por: