Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.
Fueron formulados por Andréi Kolmogórov en 1933.
un espacio muestral y
una σ-álgebra de subconjuntos de
Una función
{\displaystyle P:{\mathcal {A}}\longrightarrow \mathbb {R} }
es una función de probabilidad sobre
si se cumplen los siguientes axiomas: A1) La probabilidad de cualquier suceso
es no negativa: A2) La probabilidad del suceso seguro es igual a uno: A3) Si
{\displaystyle \{S_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq {\mathcal {A}}}
son sucesos mutuamente excluyentes, es decir,
∀ i ≠ j
{\displaystyle S_{i}\cap S_{j}=\emptyset \quad \forall i\neq j}
, entonces: A la terna
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}
se la denomina espacio de probabilidad, esto es, un espacio de sucesos (espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra de sucesos) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).
De los axiomas anteriores se coligen inmediatamente otras proposiciones de la probabilidad: Tomamos como espacio muestral los posibles resultados al arrojar un dado
Tomaremos como σ-álgebra
y como función de probabilidad
{\displaystyle P(S)={\frac {\#S}{6}}\quad \forall S\in {\mathcal {P}}(\Omega )}
representa el número de elementos del conjunto
Es fácil comprobar que esta función verifica los tres axiomas de Kolmogórov:A1)
{\displaystyle P(S)={\frac {\#S}{6}}\geq 0}
, puesto que es el cociente de dos números positivos.
{\displaystyle S_{1},S_{2},...,S_{n}\in {\mathcal {P}}(\Omega )}
tales que
∀ i ≠ j
{\displaystyle S_{i}\cap S_{j}=\emptyset \quad \forall i\neq j}
{\displaystyle \#\left(\bigcup _{i=1}^{n}{S_{i}}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\#S_{i}}\Longrightarrow P\left(\bigcup _{i=1}^{n}{S_{i}}\right)=\sum _{i=1}^{n}{P(S_{i})}}
es una función de probabilidad sobre