Estudió leyes en Edimburgo y obtiene su Master of Arts en su Universidad; pero se hace botánico más tarde.
Estudia botánica de Norteamérica con Sir William Hooker y colabora con Robert Wight en estudios de la botánica de India.
Se casa con Mary Hay Barclay en 1831, teniendo tres varones y cinco hijas.
Asistirá a Hooker en los estudios de especímenes recolectados durante el viaje de la HMS Blossom comandado por Frederick W. Beechey (1796-1856).
Arnott se dedicó mayormente a husmear en los herbarios, de manera de describir especies, colectadas por otros naturalistas, como por Ejemplo Carlo Bertero.