Tuvo una infancia y una juventud algo rebelde, motivo por el cual sus padres, a la edad de 10 años, lo envían a un internado que resultó ser un lugar agradable, pero "un poco militar", con una disciplina bastante férrea.
Allí será escolarizado en la calle St Benoit, una escuela pública de Saint Germain des Prés.
Anthony estuvo una temporada trabajando en Londres para Island Records, concretamente durante seis meses; luego se estableció en Nigeria, donde esperaba realizar un documental sobre Fela Kuti, cantante emblemático y opositor a la dictadura militar del régimen.
La película fue un éxito en América Latina y en toda la Europa del este, pero no en Francia.
Las críticas sobre Anthony son excelentes, pero la comparación con su padre Alain Delon es demasiado fuerte, dado que este ha sido una gran estrella durante décadas.