Rice nació en Cowbridge, Glamorganshire, Gales y creció en Surrey.Rice adoptó el nombre de «Anneka» cuando se unió al sindicato de actores británicos Equity, ya que su nombre real ya había sido registrado en esa organización.[5] Rice comenzó su carrera en la radiodifusión como aprendiz del Servicio Mundial de la BBC.En 1982 consiguió su primer trabajo importante en la televisión como la «skyrunner» adecuada para Treasure Hunt de Channel 4, que fue presentada por el experiodista de la BBC, Kenneth Kendall.[10] Rice dejó el programa cuando quedó embarazada en 1988, siendo reemplazada por la extenista Annabel Croft.[12] Esto fue ideado por la propia Rice y se lanzó en 1989 en BBC One.También participó en el programa de ITV, Extinct, presentado por Trevor McDonald y Zoë Ball.En 2017, apareció como concursante en Richard Osman's House of Games y participó en el programa Celebrity Hunted de Channel 4.Fue eliminada en la tercera semana de la competencia, quedando en el decimocuarto puesto.
Filmación de
Treasure Hunt
en Hatton Locks en 1984
