Trayectoria hiperbólica

Concepto en astrodinámica

La trayectoria azul en esta imagen es un ejemplo de una trayectoria hiperbólica.

En el cuadrante inferior derecho de este diagrama se representa una trayectoria hiperbólica, donde el pozo de potencial gravitatorio de la masa central muestra la energía potencial y la energía cinética de la trayectoria hiperbólica se muestra en rojo. La altura de la energía cinética disminuye a medida que disminuye la velocidad y aumenta la distancia de acuerdo con las leyes de Kepler. La parte de la energía cinética que permanece por encima de la energía total cero es la asociada con el exceso de velocidad hiperbólica.

En astrodinámica o mecánica celeste , una trayectoria hiperbólica u órbita hiperbólica es la trayectoria de cualquier objeto alrededor de un cuerpo central con velocidad más que suficiente para escapar de la atracción gravitatoria del objeto central. El nombre deriva del hecho de que, según la teoría newtoniana, dicha órbita tiene la forma de una hipérbola . En términos más técnicos, esto se puede expresar mediante la condición de que la excentricidad orbital sea mayor que uno.

Según suposiciones simplistas, un cuerpo que recorra esta trayectoria se desplazará hacia el infinito y se asentará en una velocidad final excesiva con respecto al cuerpo central. De manera similar a las trayectorias parabólicas , todas las trayectorias hiperbólicas también son trayectorias de escape . La energía específica de una órbita con trayectoria hiperbólica es positiva.

Los sobrevuelos planetarios, utilizados para lanzamientos gravitacionales , pueden describirse dentro de la esfera de influencia del planeta utilizando trayectorias hiperbólicas.

Parámetros que describen una trayectoria hiperbólica

Al igual que una órbita elíptica, una trayectoria hiperbólica para un sistema dado se puede definir (sin tener en cuenta la orientación) por su semieje mayor y la excentricidad. Sin embargo, en el caso de una órbita hiperbólica, otros parámetros pueden resultar más útiles para comprender el movimiento de un cuerpo. La siguiente tabla enumera los parámetros principales que describen la trayectoria de un cuerpo que sigue una trayectoria hiperbólica alrededor de otro bajo supuestos estándar y la fórmula que los relaciona.

Semieje mayor, energía y exceso de velocidad hiperbólica

El semieje mayor ( ) no es visible inmediatamente con una trayectoria hiperbólica, pero se puede construir como la distancia desde el periapsis hasta el punto donde se cruzan las dos asíntotas. Por lo general, por convención, es negativo, para mantener la coherencia de varias ecuaciones con las órbitas elípticas. ${\displaystyle a\,\!}$

El semieje mayor está directamente relacionado con la energía orbital específica ( ) o energía característica de la órbita, y con la velocidad que alcanza el cuerpo cuando la distancia tiende al infinito, la velocidad excesiva hiperbólica ( ). ${\displaystyle \epsilon \,}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}$ o ${\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}$

donde: es el parámetro gravitacional estándar y es la energía característica, comúnmente utilizada en la planificación de misiones interplanetarias ${\displaystyle \mu =Gm\,\!}$ ${\displaystyle C_{3}}$

Nótese que la energía total es positiva en el caso de una trayectoria hiperbólica (mientras que es negativa para una órbita elíptica).

Excentricidad y ángulo entre aproximación y salida

En una trayectoria hiperbólica, la excentricidad orbital ( ) es mayor que 1. La excentricidad está directamente relacionada con el ángulo entre las asíntotas. Con una excentricidad apenas superior a 1, la hipérbola tiene forma de "v" aguda. En las asíntotas se encuentran en ángulos rectos. En las asíntotas se encuentran a más de 120° de distancia y la distancia del periápside es mayor que el semieje mayor. A medida que aumenta la excentricidad, el movimiento se aproxima a una línea recta. ${\displaystyle e\,}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle e>2}$

El ángulo entre la dirección del periapsis y una asíntota del cuerpo central es la anomalía verdadera ya que la distancia tiende a infinito ( ), por lo que lo es el ángulo externo entre las direcciones de aproximación y salida (entre asíntotas). Entonces ${\displaystyle \theta _{\infty }\,}$ ${\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}$

${\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}$o ${\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}$

Parámetro de impacto y distancia de aproximación más cercana

Trayectorias hiperbólicas seguidas por objetos que se acercan al objeto central (punto pequeño) con la misma velocidad hiperbólica excedente (y semieje mayor (=1)) y desde la misma dirección pero con diferentes parámetros de impacto y excentricidades. La línea amarilla pasa efectivamente alrededor del punto central, acercándose a él.

El parámetro de impacto es la distancia a la que un cuerpo, si continuara su trayectoria sin perturbaciones, se alejaría del cuerpo central en su aproximación más cercana . En el caso de cuerpos que experimentan fuerzas gravitacionales y siguen trayectorias hiperbólicas, es igual al semieje menor de la hipérbola.

En el caso de que una nave espacial o un cometa se acerque a un planeta, se conocerán con precisión el parámetro de impacto y la velocidad excedente. Si se conoce el cuerpo central, se puede determinar la trayectoria, incluido el grado de aproximación al periapsis del cuerpo que se aproxima. Si este es menor que el radio del planeta, se debe esperar un impacto. La distancia de aproximación más cercana, o distancia de periapsis, se expresa mediante:

${\displaystyle r_{p}=-a(e-1)={\frac {\mu }{v_{\infty }^{2}}}\left({\sqrt {1+\left(b{\frac {v_{\infty }^{2}}{\mu }}\right)^{2}}}-1\right)}$

Por lo tanto, si un cometa que se acerca a la Tierra (radio efectivo de ~6400 km) con una velocidad de 12,5 km/s (la velocidad mínima aproximada de aproximación de un cuerpo procedente del Sistema Solar exterior ) debe evitar una colisión con la Tierra, el parámetro de impacto deberá ser de al menos 8600 km, o un 34% más que el radio de la Tierra. Un cuerpo que se acerca a Júpiter (radio de 70000 km) desde el Sistema Solar exterior con una velocidad de 5,5 km/s, necesitará que el parámetro de impacto sea de al menos 770.000 km u 11 veces el radio de Júpiter para evitar la colisión.

Si no se conoce la masa del cuerpo central, su parámetro gravitacional estándar y, por lo tanto, su masa, se pueden determinar mediante la desviación del cuerpo más pequeño junto con el parámetro de impacto y la velocidad de aproximación. Como normalmente todas estas variables se pueden determinar con precisión, el sobrevuelo de una nave espacial proporcionará una buena estimación de la masa de un cuerpo.

${\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}$¿Dónde está el ángulo en el que el cuerpo más pequeño se desvía de una línea recta en su curso? ${\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }$

Ecuaciones de movimiento

Posición

En una trayectoria hiperbólica la anomalía verdadera está vinculada a la distancia entre los cuerpos en órbita ( ) por la ecuación de la órbita : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r\,}$

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

La relación entre la anomalía verdadera θ y la anomalía excéntrica E (alternativamente la anomalía hiperbólica H ) es: ^[3]

${\displaystyle \cosh {E}={{\cos {\theta }+e} \over {1+e\cdot \cos {\theta }}}}$     o         o   ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$ ${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}={\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}}$

La anomalía excéntrica E está relacionada con la anomalía media M mediante la ecuación de Kepler :

${\displaystyle M=e\sinh E-E}$

La anomalía media es proporcional al tiempo

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3}}}}.(t-\tau ),}$donde μ es un parámetro gravitacional y a es el semieje mayor de la órbita.

Ángulo de trayectoria de vuelo

El ángulo de la trayectoria de vuelo (φ) es el ángulo entre la dirección de la velocidad y la perpendicular a la dirección radial, por lo que es cero en el periapsis y tiende a 90 grados en el infinito.

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {e\cdot \sin \theta }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Velocidad

Bajo supuestos estándar, la velocidad orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una trayectoria hiperbólica se puede calcular a partir de la ecuación vis-viva como: ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+{1 \over {a}}\right)}}}$^[4]

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle a\,\!}$es el semieje mayor (negativo) .

Bajo supuestos estándar, en cualquier posición de la órbita se cumple la siguiente relación para la velocidad orbital ( ), la velocidad de escape local ( ) y la velocidad de exceso hiperbólico ( ): ${\displaystyle v\,}$ ${\displaystyle {v_{esc}}\,}$ ${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}}$

Tenga en cuenta que esto significa que un delta- v adicional relativamente pequeño por encima del necesario para acelerar hasta la velocidad de escape da como resultado una velocidad relativamente grande en el infinito. Por ejemplo, en un lugar donde la velocidad de escape es de 11,2 km/s, la adición de 0,4 km/s produce un exceso de velocidad hiperbólica de 3,02 km/s.

${\displaystyle {\sqrt {11.6^{2}-11.2^{2}}}=3.02}$

Este es un ejemplo del efecto Oberth . Lo inverso también es cierto: no es necesario reducir la velocidad de un cuerpo mucho en comparación con su exceso de velocidad hiperbólica (por ejemplo, mediante la fricción atmosférica cerca del periapsis) para que la velocidad caiga por debajo de la velocidad de escape y, por lo tanto, el cuerpo quede capturado.

Trayectoria hiperbólica radial

Una trayectoria hiperbólica radial es una trayectoria no periódica en línea recta donde la velocidad relativa de los dos objetos siempre supera la velocidad de escape . Hay dos casos: los cuerpos se alejan uno del otro o se acercan. Se trata de una órbita hiperbólica con semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, no se trata de una órbita parabólica.

Desviación con esfera de influencia finita

Una fórmula más precisa para el ángulo de deflexión considerando el radio de la esfera de influencia del cuerpo deflector, asumiendo un periapsis es: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R_{\text{SOI}}}$ ${\displaystyle p_{e}}$

${\displaystyle \delta =2\arcsin \left({\frac {{\sqrt {1-{\frac {p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}}}{\sqrt {1+{\frac {p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}-{\frac {2\mu p_{e}}{v_{\infty }^{2}R_{\text{SOI}}^{2}}}}}}{1+{\frac {v_{\infty }^{2}p_{e}}{\mu }}-{\frac {2p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}}}\right)}$

Problema relativista de dos cuerpos

En el contexto del problema de los dos cuerpos en la relatividad general , las trayectorias de los objetos con suficiente energía para escapar de la atracción gravitatoria de otro ya no tienen forma de hipérbola. No obstante, el término "trayectoria hiperbólica" todavía se utiliza para describir órbitas de este tipo.

Véase también

• Órbita
• Ecuación de órbita
• Órbita de Kepler
• Lista de órbitas
• Vuelo planetario
• Asteroide hiperbólico
• Lista de cometas hiperbólicos

Referencias

• Vallado, David A. (2007). Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones, tercera edición . Hawthorne, CA.: Hawthorne Press. ISBN 978-1-881883-14-2.

1. Entonces, Kepler; Saraiva, María de Fátima (2014). Astronomia y Astrofísica . Porto Alegre: Departamento de Astronomía - Instituto de Física de la Universidad Federal de Rio Grande do Sul. págs. 97-106.
2. "Fundamentos del vuelo espacial: mecánica orbital". Archivado desde el original el 4 de febrero de 2012. Consultado el 28 de febrero de 2012 .
3. Peet, Matthew M. (13 de junio de 2019). «Dinámica y control de naves espaciales» (PDF) .
4. Mecánica orbital y astrodinámica por Bryan Weber: https://orbital-mechanics.space/the-orbit-equation/hyperbolic-trajectories.html

Enlaces externos

• Trayectorias
• Órbitas
• Hiperbólico