Velocidad relativa

Velocidad de un objeto u observador en el sistema de reposo de otro objeto u observador

Hombre de movimiento relativo en el tren.

La velocidad relativa , denotada (también o ), es la velocidad de un objeto u observador B en el sistema de reposo de otro objeto u observador A. ${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{BA}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{B\operatorname {rel} A}}$

Mecanica clasica

En una dimensión (no relativista)

Comenzamos con el movimiento relativo en la aproximación clásica (o no relativista o newtoniana ) de que todas las velocidades son mucho menores que la velocidad de la luz. Este límite está asociado a la transformación galileana . La figura muestra a un hombre encima de un tren, en el borde trasero. A la 1:00 pm comienza a caminar hacia adelante a una velocidad de 10 km/h (kilómetros por hora). El tren se mueve a 40 km/h. La figura muestra al hombre y al tren en dos momentos diferentes: primero, cuando comenzó el viaje, y también una hora después, a las 14:00 horas. La figura sugiere que el hombre se encuentra a 50 km del punto de partida después de haber viajado (a pie y en tren) durante una hora. Esto, por definición, es 50 km/h, lo que sugiere que la prescripción para calcular la velocidad relativa de esta manera es sumar las dos velocidades.

El diagrama muestra relojes y reglas para recordar al lector que, si bien la lógica detrás de este cálculo parece perfecta, hace suposiciones falsas sobre cómo se comportan los relojes y las reglas. (Ver El experimento mental del tren y la plataforma ). Para reconocer que este modelo clásico de movimiento relativo viola la relatividad especial , generalizamos el ejemplo en una ecuación:

${\displaystyle \underbrace {{\vec {v}}_{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {{\vec {v}}_{M\mid T}} _{\text{10 km/h}}+\underbrace {{\vec {v}}_{T\mid E}} _{\text{40 km/h}},}$

dónde:

${\displaystyle {\vec {v}}_{M\mid E}}$es la velocidad de M an en relación con E art,

${\displaystyle {\vec {v}}_{M\mid T}}$es la velocidad de la M an relativa a la lluvia T ,

${\displaystyle {\vec {v}}_{T\mid E}}$es la velocidad del T rain relativa a la Tierra.

Expresiones totalmente legítimas para "la velocidad de A con respecto a B" incluyen "la velocidad de A con respecto a B" y "la velocidad de A en el sistema de coordenadas donde B está siempre en reposo". La violación de la relatividad especial se produce porque esta ecuación de la velocidad relativa predice falsamente que diferentes observadores medirán diferentes velocidades al observar el movimiento de la luz. ^{[nota 1]}

En dos dimensiones (no relativista)

Velocidades relativas entre dos partículas en mecánica clásica.

La figura muestra dos objetos A y B moviéndose a velocidad constante. Las ecuaciones de movimiento son:

${\displaystyle {\vec {r}}_{A}={\vec {r}}_{Ai}+{\vec {v}}_{A}t,}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{B}={\vec {r}}_{Bi}+{\vec {v}}_{B}t,}$

donde el subíndice i se refiere al desplazamiento inicial (en el momento t igual a cero). La diferencia entre los dos vectores de desplazamiento, representa la ubicación de B vista desde A. ${\displaystyle {\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}=\underbrace {{\vec {r}}_{Bi}-{\vec {r}}_{Ai}} _{\text{initial separation}}+\underbrace {({\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A})t} _{\text{relative velocity}}.}$

Por eso:

${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}.}$

Después de hacer las sustituciones y , tenemos: ${\displaystyle {\vec {v}}_{A|C}={\vec {v}}_{A}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{B|C}={\vec {v}}_{B}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={\vec {v}}_{B\mid C}-{\vec {v}}_{A\mid C}\Rightarrow }$   ${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid C}={\vec {v}}_{B\mid A}+{\vec {v}}_{A\mid C}.}$

Transformación galileana (no relativista)

Para construir una teoría del movimiento relativo consistente con la teoría de la relatividad especial, debemos adoptar una convención diferente. Siguiendo trabajando en el límite newtoniano (no relativista) , comenzamos con una transformación galileana en una dimensión: ^{[nota 2]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle t'=t}$

donde x' es la posición vista por un sistema de referencia que se mueve a velocidad v, en el sistema de referencia "no preparado" (x). ^{[nota 3]} Tomando el diferencial de la primera de las dos ecuaciones anteriores, tenemos, y lo que puede parecer la afirmación obvia ^{[nota 4]} de que tenemos: ${\displaystyle dx'=dx-v\,dt}$ ${\displaystyle dt'=dt}$

${\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v}$

Para recuperar las expresiones anteriores para la velocidad relativa, asumimos que la partícula A sigue la trayectoria definida por dx/dt en la referencia no preparada (y por tanto dx ′/ dt ′ en el marco preparado). Por lo tanto , y , donde y se refieren al movimiento de A visto por un observador en el marco no preparado y preparado, respectivamente. Recuerde que v es el movimiento de un objeto estacionario en el marco preparado, visto desde el marco no preparado. Así tenemos , y: ${\displaystyle dx/dt=v_{A\mid O}}$ ${\displaystyle dx'/dt=v_{A\mid O'}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O'}$ ${\displaystyle v=v_{O'\mid O}}$

${\displaystyle v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},}$

donde la última forma tiene la simetría deseada (fácil de aprender).

Relatividad especial

Como en la mecánica clásica, en la relatividad especial la velocidad relativa es la velocidad de un objeto u observador B en el sistema de reposo de otro objeto u observador A. Sin embargo, a diferencia del caso de la mecánica clásica, en la Relatividad Especial, generalmente no ocurre que ${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }=-{\vec {v}}_{\mathrm {A|B} }}$

Esta peculiar falta de simetría está relacionada con la precesión de Thomas y el hecho de que dos transformaciones sucesivas de Lorentz hacen girar el sistema de coordenadas. Esta rotación no tiene ningún efecto sobre la magnitud de un vector y, por tanto, la velocidad relativa es simétrica.

${\displaystyle \|{\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }\|=\|{\vec {v}}_{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B|A} }=v_{\mathrm {A|B} }}$

Velocidades paralelas

En el caso de que dos objetos viajen en direcciones paralelas, la fórmula relativista para la velocidad relativa es similar en forma a la fórmula para la suma de velocidades relativistas.

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }}{1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

La velocidad relativa viene dada por la fórmula:

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

Velocidades perpendiculares

En el caso de que dos objetos viajen en direcciones perpendiculares, la velocidad relativa relativista viene dada por la fórmula: ${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }}$

dónde

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

La velocidad relativa viene dada por la fórmula

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}}$

Caso general

La fórmula general para la velocidad relativa de un objeto u observador B en el sistema de reposo de otro objeto u observador A viene dada por la fórmula: ^[1] ${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }+{\vec {v}}_{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\cdot {\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]}$

dónde

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

La velocidad relativa viene dada por la fórmula

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\cdot {\vec {v}}_{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c}$

Ver también

• efecto Doppler
• Geometría no euclidiana § Geometrías cinemáticas
• velocidad peculiar
• movimiento adecuado
• Tasa de rango
• velocidad radial
• Rapidez
• Velocidad relativista
• Velocidad espacial (astronomía)

Notas

1. Por ejemplo, reemplace el "Hombre" por un fotón que viaja a la velocidad de la luz.
2. Este resultado es válido si todo el movimiento está restringido al eje x, pero se puede generalizar fácilmente reemplazando la primera ecuación por ${\displaystyle {\vec {r}}\,'={\vec {r}}-{\vec {v}}t}$
3. Es fácil confundirse acerca del signo menos antes de v , o si v está definido en el marco de referencia primo o no primo. Podría ser útil visualizar el hecho de que si x  =  vt , entonces x ′ = 0, lo que significa que una partícula que sigue la trayectoria x  =  vt está en reposo en el sistema de referencia preparado.
4. Tenga en cuenta que, debido a la dilatación del tiempo , dt  =  dt ′ es válido sólo en la aproximación de que la velocidad es mucho menor que la de la luz.

Referencias

1. Fock 1964 La teoría del espacio, el tiempo y la gravitación, recuperado de https://archive.org/details/TheTheoryOfSpaceTimeGravitation

Otras lecturas

• Alonso y Finn, Física Universitaria Fundamental ISBN  0-201-56518-8
• Greenwood, Donald T, Principios de la dinámica.
• Goodman y Warner, Dinámica.
• Beer y Johnston, Estática y dinámica.
• Diccionario McGraw Hill de Física y Matemáticas.
• Rindler, W., Relatividad esencial.
• KHURMI RS, Mecánica, Ingeniería Mecánica, Estática, Dinámica

enlaces externos

• Movimiento relativo en hiperfísica
• Un subprograma de Java que ilustra la velocidad relativa, por Andrew Duffy
• Relatív mozgás (1)...(3) Movimiento relativo de dos trenes (1)...(3). Vídeos en el portal FizKapu. (en húngaro)
• Sebességek összegzése Relativa tranquilidad de las truchas en el arroyo. Vídeo en el portal FizKapu. (en húngaro)