Velocidad de grupo

Cantidad física

Dispersión de frecuencia en grupos de ondas de gravedad en la superficie de aguas profundas. El El cuadrado rojo se mueve con la velocidad de fase y los      círculos verdes se propagan con la velocidad de grupo. En este caso de aguas profundas, la velocidad de fase es el doble de la velocidad del grupo . El cuadrado rojo supera a dos círculos verdes cuando se mueve de izquierda a derecha de la figura.

Nuevas ondas parecen surgir en la parte posterior de un grupo de ondas, crecen en amplitud hasta estar en el centro del grupo y desaparecen en el frente del grupo de ondas.

Para las ondas de gravedad superficiales, las velocidades de las partículas de agua son mucho más pequeñas que la velocidad de fase, en la mayoría de los casos.

Propagación de un paquete de ondas que demuestra una velocidad de fase mayor que la velocidad del grupo sin dispersión.

Esto muestra una onda con la velocidad de grupo y la velocidad de fase yendo en diferentes direcciones. ^[1] La velocidad del grupo es positiva (es decir, la envolvente de la onda se mueve hacia la derecha), mientras que la velocidad de fase es negativa (es decir, los picos y los valles se mueven hacia la izquierda).

La velocidad de grupo de una onda es la velocidad con la que la forma envolvente general de las amplitudes de la onda, conocida como modulación o envolvente de la onda, se propaga a través del espacio.

Por ejemplo, si se arroja una piedra en medio de un estanque muy tranquilo, aparece en el agua un patrón circular de ondas con un centro inactivo, también conocido como onda capilar . El anillo de ondas en expansión es el grupo de ondas o paquete de ondas , dentro del cual se pueden distinguir ondas individuales que viajan más rápido que el grupo en su conjunto. Las amplitudes de las ondas individuales crecen a medida que emergen del borde de salida del grupo y disminuyen a medida que se acercan al borde de ataque del grupo.

Historia

La idea de una velocidad de grupo distinta de la velocidad de fase de una onda fue propuesta por primera vez por WR Hamilton en 1839, y el primer tratamiento completo fue por Rayleigh en su "Teoría del sonido" en 1877. ^[2]

Definición e interpretación

  Un paquete de olas .

  La envoltura del paquete de ondas. La envolvente se mueve a la velocidad del grupo.

La velocidad del grupo v _g está definida por la ecuación: ^{[3] [4] [5] [6]}

${\displaystyle v_{\rm {g}}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,}$

donde ω es la frecuencia angular de la onda (generalmente expresada en radianes por segundo ) y k es el número de onda angular (generalmente expresado en radianes por metro). La velocidad de fase es: v _p = ω / k .

La función ω ( k ) , que da ω como función de k , se conoce como relación de dispersión .

• Si ω es directamente proporcional a k , entonces la velocidad del grupo es exactamente igual a la velocidad de fase. Una onda de cualquier forma viajará sin distorsión a esta velocidad.
• Si ω es una función lineal de k , pero no directamente proporcional ( ω = ak + b ) , entonces la velocidad de grupo y la velocidad de fase son diferentes. La envolvente de un paquete de ondas (ver figura a la derecha) viajará a la velocidad del grupo, mientras que los picos y valles individuales dentro de la envolvente se moverán a la velocidad de fase.
• Si ω no es una función lineal de k , la envolvente de un paquete de ondas se distorsionará a medida que viaja. Dado que un paquete de ondas contiene un rango de frecuencias diferentes (y por lo tanto diferentes valores de k ), la velocidad del grupo ∂ω/∂k será diferente para diferentes valores de k . Por lo tanto, la envolvente no se mueve a una única velocidad, sino que sus componentes del número de onda ( k ) se mueven a diferentes velocidades, distorsionando la envolvente. Si el paquete de ondas tiene un rango estrecho de frecuencias y ω ( k ) es aproximadamente lineal en ese rango estrecho, la distorsión del pulso será pequeña, en relación con la pequeña no linealidad. Vea más discusión a continuación. Por ejemplo, para ondas de gravedad en aguas profundas , y por lo tanto v _g = v _p /2 . ${\textstyle \omega ={\sqrt {gk}}}$
  Esto es la base del patrón de estela Kelvin de la onda de proa de todos los barcos y objetos que nadan. Independientemente de qué tan rápido se muevan, siempre que su velocidad sea constante, a cada lado la estela forma un ángulo de 19,47° = arcosen(1/3) con la línea de viaje. ^[7]

Derivación

Una derivación de la fórmula para la velocidad del grupo es la siguiente. ^{[8] [9]}

Considere un paquete de ondas en función de la posición x y el tiempo t : α ( x , t ) .

Sea A ( k ) su transformada de Fourier en el instante t = 0 ,

${\displaystyle \alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx}.}$

Por el principio de superposición , el paquete de ondas en cualquier momento t es

${\displaystyle \alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},}$

donde ω es implícitamente una función de k .

Supongamos que el paquete de ondas α es casi monocromático , de modo que A ( k ) tiene un pico pronunciado alrededor de un número de onda central k ₀ .

Entonces, la linealización da

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+\left(k-k_{0}\right)\omega '_{0}}$

dónde

${\displaystyle \omega _{0}=\omega (k_{0})}$y ${\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}}$

(Ver la siguiente sección para la discusión de este paso). Luego, después de un poco de álgebra,

${\displaystyle \alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}.}$

Hay dos factores en esta expresión. El primer factor, describe una onda monocromática perfecta con un vector de onda k ₀ , con picos y valles que se mueven a la velocidad de fase dentro de la envolvente del paquete de ondas. ${\displaystyle e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}}$ ${\displaystyle \omega _{0}/k_{0}}$

El otro factor,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}}$,

da la envolvente del paquete de ondas. Esta función de envolvente depende de la posición y el tiempo sólo a través de la combinación . ${\displaystyle (x-\omega '_{0}t)}$

Por lo tanto, la envolvente del paquete de ondas viaja a una velocidad

${\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{k=k_{0}}~,}$

lo que explica la fórmula de la velocidad del grupo.

Otras expresiones

Para la luz, el índice de refracción n , la longitud de onda en el vacío λ ₀ y la longitud de onda en el medio λ están relacionados por

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }},\;\;\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v_{\rm {p}}}{\omega }},\;\;n={\frac {c}{v_{\rm {p}}}}={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }},}$

con v _p  =  ω / k la velocidad de fase .

La velocidad del grupo, por lo tanto, se puede calcular mediante cualquiera de las siguientes fórmulas,

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\rm {g}}&={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}\\&=v_{\rm {p}}\left(1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right)=v_{\rm {p}}-\lambda {\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\partial \lambda }}=v_{\rm {p}}+k{\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\partial k}}.\end{aligned}}}$

Dispersión

Distorsión de grupos de olas por efectos de dispersión de orden superior, para ondas de gravedad superficiales en aguas profundas (con v _g = ½ v _p ).

Esto muestra la superposición de tres componentes de onda, con 22, 25 y 29 longitudes de onda respectivamente encajando en un dominio horizontal periódico de 2 km de longitud. Las amplitudes de onda de los componentes son respectivamente 1, 2 y 1 metro.

Parte de la derivación anterior es la aproximación de la serie de Taylor que:

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}(k_{0})}$

Si el paquete de ondas tiene una dispersión de frecuencia relativamente grande, o si la dispersión ω(k) tiene variaciones bruscas (como debido a una resonancia ), o si el paquete viaja distancias muy largas, esta suposición no es válida y las ondas de orden superior Los términos en la expansión de Taylor se vuelven importantes.

Como resultado, la envoltura del paquete de ondas no sólo se mueve, sino que también se distorsiona, de una manera que puede describirse mediante la dispersión de velocidades de grupo del material . En términos generales, los diferentes componentes de frecuencia del paquete de ondas viajan a diferentes velocidades, con los componentes más rápidos moviéndose hacia el frente del paquete de ondas y los más lentos hacia la parte posterior. Con el tiempo, el paquete de ondas se estira. Este es un efecto importante en la propagación de señales a través de fibras ópticas y en el diseño de láseres de pulso corto y alta potencia.

Relación con la velocidad de fase, el índice de refracción y la velocidad de transmisión.

Una superposición de ondas planas 1D (azules), cada una de las cuales viaja a una velocidad de fase diferente (trazada por puntos azules) da como resultado un paquete de ondas gaussianas (roja) que se propaga a la velocidad del grupo (trazada por la línea roja).

La velocidad de grupo de un conjunto de ondas se define como

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}.}$

Cuando varias ondas sinusoidales se propagan juntas, la superposición resultante de las ondas puede dar como resultado una onda "envolvente" así como una onda "portadora" que se encuentra dentro de la envoltura. Esto aparece comúnmente en la comunicación inalámbrica cuando se emplea modulación (un cambio en amplitud y/o fase) para enviar datos. Para obtener cierta intuición sobre esta definición, consideramos una superposición de ondas (coseno) f(x, t) con sus respectivas frecuencias angulares y vectores de onda.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,t)&=\cos(k_{1}x-\omega _{1}t)+\cos(k_{2}x-\omega _{2}t)\\&=2\cos \left({\frac {(k_{2}-k_{1})x-(\omega _{2}-\omega _{1})t}{2}}\right)\cos \left({\frac {(k_{2}+k_{1})x-(\omega _{2}+\omega _{1})t}{2}}\right)\\&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).\end{aligned}}}$

Entonces, tenemos un producto de dos ondas: una onda envolvente formada por f ₁ y una onda portadora formada por f ₂ . A la velocidad de la onda envolvente la llamamos velocidad de grupo. Vemos que la velocidad de fase de f ₁ es

${\displaystyle {\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}.}$

En el caso diferencial continuo, esto se convierte en la definición de velocidad de grupo.

En el contexto del electromagnetismo y la óptica, la frecuencia es una función ω ( k ) del número de onda, por lo que, en general, la velocidad de fase y la velocidad del grupo dependen del medio y la frecuencia específicos. La relación entre la velocidad de la luz c y la velocidad de fase v _p se conoce como índice de refracción , n = c / v _p = ck / ω .

De esta manera, podemos obtener otra forma de velocidad de grupo para el electromagnetismo. Escribiendo n = n (ω) , una forma rápida de derivar esta forma es observar

${\displaystyle k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .}$

Luego podemos reorganizar lo anterior para obtener

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial w}{\partial k}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}.}$

De esta fórmula, vemos que la velocidad del grupo es igual a la velocidad de fase solo cuando el índice de refracción es independiente de la frecuencia . Cuando esto ocurre, el medio se llama no dispersivo, a diferencia de dispersivo , donde varias propiedades del medio dependen de la frecuencia ω . La relación se conoce como relación de dispersión del medio. ${\textstyle \partial n/\partial \omega =0}$ ${\displaystyle \omega (k)}$

En tres dimensiones

Para ondas que viajan a través de tres dimensiones, como ondas de luz, ondas de sonido y ondas de materia, las fórmulas para la velocidad de fase y de grupo se generalizan de manera sencilla: ^[10]

• Una dimensión: ${\displaystyle v_{\rm {p}}=\omega /k,\quad v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}},\,}$
• Tres dimensiones: ${\displaystyle (v_{\rm {p}})_{i}={\frac {\omega }{{k}_{i}}},\quad \mathbf {v} _{\rm {g}}={\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega \,}$

dónde

$${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega }$$

gradientefrecuencia angular ωvector unitariok ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$

Si las ondas se propagan a través de un medio anisotrópico (es decir, no rotacionalmente simétrico), por ejemplo un cristal , entonces el vector de velocidad de fase y el vector de velocidad de grupo pueden apuntar en direcciones diferentes.

En medios con pérdidas o ganancias

A menudo se piensa que la velocidad de grupo es la velocidad a la que se transmite energía o información a lo largo de una onda. En la mayoría de los casos, esto es exacto y la velocidad del grupo puede considerarse como la velocidad de la señal de la forma de onda . Sin embargo, si la onda viaja a través de un medio absorbente o lucrativo, esto no siempre es así. En estos casos, la velocidad del grupo puede no ser una cantidad bien definida o puede no ser una cantidad significativa.

En su texto “Propagación de ondas en estructuras periódicas”, ^[11] Brillouin argumentó que en un medio con pérdidas la velocidad del grupo deja de tener un significado físico claro. Loudon da un ejemplo relativo a la transmisión de ondas electromagnéticas a través de un gas atómico. ^[12] Otro ejemplo son las ondas mecánicas en la fotosfera solar : las ondas son amortiguadas (por el flujo de calor radiativo desde los picos a los valles) y, en relación con eso, la velocidad de la energía es a menudo sustancialmente menor que la velocidad del grupo de ondas. ^[13]

A pesar de esta ambigüedad, una forma común de extender el concepto de velocidad de grupo a medios complejos es considerar soluciones de ondas planas amortiguadas espacialmente dentro del medio, que se caracterizan por un vector de onda de valor complejo . Luego, la parte imaginaria del vector de onda se descarta arbitrariamente y la fórmula habitual para la velocidad de grupo se aplica a la parte real del vector de onda, es decir,

${\displaystyle v_{\rm {g}}=\left({\frac {\partial \left(\operatorname {Re} k\right)}{\partial \omega }}\right)^{-1}.}$

O, de manera equivalente, en términos de la parte real del índice de refracción complejo , n = n + iκ , se tiene ^[14]

${\displaystyle {\frac {c}{v_{\rm {g}}}}=n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}.}$

Se puede demostrar que esta generalización de la velocidad de grupo sigue estando relacionada con la velocidad aparente del pico de un paquete de ondas. ^[15] Sin embargo, la definición anterior no es universal: alternativamente, se puede considerar la amortiguación temporal de las ondas estacionarias ( k real , ω compleja ), o permitir que la velocidad del grupo sea una cantidad de valor complejo. ^{[16] [17]} Diferentes consideraciones producen velocidades distintas, sin embargo, todas las definiciones coinciden para el caso de un medio sin pérdidas ni ganancias.

La generalización anterior de la velocidad de grupo para medios complejos puede comportarse de manera extraña, y el ejemplo de dispersión anómala sirve como una buena ilustración. En los bordes de una región de dispersión anómala, se vuelve infinita (superando incluso la velocidad de la luz en el vacío), y puede fácilmente volverse negativa (su signo se opone a Re k ) dentro de la banda de dispersión anómala. ^{[18] [19] [20]} ${\displaystyle v_{\rm {g}}}$ ${\displaystyle v_{\rm {g}}}$

Velocidades de grupo superluminales

Desde la década de 1980, varios experimentos han verificado que es posible que la velocidad de grupo (como se define anteriormente) de los pulsos de luz láser enviados a través de materiales con pérdidas o materiales con ganancias supere significativamente la velocidad de la luz en el vacío c . También se observó que los picos de los paquetes de ondas se movían más rápido que c .

En todos estos casos, sin embargo, no hay posibilidad de que las señales puedan transportarse más rápido que la velocidad de la luz en el vacío , ya que el alto valor de v _g no ayuda a acelerar el verdadero movimiento del frente de onda agudo que se produciría en el vacío. inicio de cualquier señal real. Esencialmente, la transmisión aparentemente superluminal es un artefacto de la aproximación de banda estrecha utilizada anteriormente para definir la velocidad del grupo y ocurre debido a fenómenos de resonancia en el medio intermedio. En un análisis de banda ancha se ve que la velocidad aparentemente paradójica de propagación de la envolvente de la señal es en realidad el resultado de la interferencia local de una banda más amplia de frecuencias durante muchos ciclos, todos los cuales se propagan perfectamente causalmente y a velocidad de fase. El resultado es similar al hecho de que las sombras pueden viajar más rápido que la luz, incluso si la luz que las causa siempre se propaga a la velocidad de la luz; dado que el fenómeno que se mide sólo está vagamente relacionado con la causalidad, no necesariamente respeta las reglas de la propagación causal, incluso si en circunstancias normales lo hace y conduce a una intuición común. ^{[14] [18] [19] [21] [22]}

Ver también

• Propagación de onda
• Dispersión (ondas de agua)
• Dispersión (óptica)
• Velocidad de propagación de la onda
• Retraso de grupo
• Dispersión de velocidad de grupo
• Dispersión del retardo del grupo.
• Retraso de fase
• Velocidad de fase
• Velocidad de la señal
• luz lenta
• Velocidad frontal
• Onda de materia # Velocidad de grupo
• solitón

Referencias

Notas

1. Nemirovsky, Jonathan; Rechtsman, Mikael C; Segev, Mordejai (9 de abril de 2012). "Presión de radiación negativa e índice de refracción efectivo negativo mediante birrefringencia dieléctrica". Óptica Express . 20 (8): 8907–8914. Código Bib : 2012OExpr..20.8907N. doi : 10.1364/OE.20.008907 . PMID  22513601.
2. Brillouin, Léon (1960), Propagación de ondas y velocidad de grupo , Nueva York: Academic Press Inc., OCLC  537250
3. Brillouin, Léon (2003) [1946], Propagación de ondas en estructuras periódicas: filtros eléctricos y redes cristalinas , Dover, p. 75, ISBN 978-0-486-49556-9
4. Lighthill, James (2001) [1978], Ondas en fluidos , Cambridge University Press, p. 242, ISBN 978-0-521-01045-0
5. Colina ligera (1965)
6. Hayes (1973)
7. GB Whitham (1974). Ondas lineales y no lineales (John Wiley & Sons Inc., 1974) págs. 409–410 Exploración en línea
8. Griffiths, David J. (1995). Introducción a la Mecánica Cuántica . Prentice Hall . pag. 48.ISBN​ 9780131244054.
9. David K. Ferry (2001). Mecánica cuántica: una introducción para físicos de dispositivos e ingenieros eléctricos (2ª ed.). Prensa CRC. págs. 18-19. Código Bib : 2001qmid.book.....F. ISBN 978-0-7503-0725-3.
10. Dinámica de fluidos atmosféricos y oceánicos: fundamentos y circulación a gran escala, por Geoffrey K. Vallis, p239
11. Brillouin, L. (1946). Propagación de ondas en estructuras periódicas. Nueva York: McGraw Hill. pag. 75.
12. Loudon, R. (1973). La teoría cuántica de la luz . Oxford.
13. Worrall, G. (2012). "Sobre el efecto de la relajación radiativa sobre el flujo de energía de ondas mecánicas en la atmósfera solar". Física Solar . 279 (1): 43–52. Código bibliográfico : 2012SoPh..279...43W. doi :10.1007/s11207-012-9982-z. S2CID  119595058.
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15. Morín, David (2009). «Dispersión» (PDF) . people.fas.harvard.edu . Archivado (PDF) desde el original el 21 de mayo de 2012 . Consultado el 11 de julio de 2019 .
16. Muschietti, L.; Dum, CT (1993). "Velocidad real de grupo en un medio con disipación". Física de Fluidos B: Física del Plasma . 5 (5): 1383. Código bibliográfico : 1993PhFlB...5.1383M. doi : 10.1063/1.860877.
17. Gerasik, Vladimir; Stastna, Marek (2010). "Velocidad de grupo complejo y transporte de energía en medios absorbentes". Revisión física E. 81 (5): 056602. Código bibliográfico : 2010PhRvE..81e6602G. doi : 10.1103/PhysRevE.81.056602. PMID  20866345.
18. Dolling, Gunnar; Enkrich, cristiano; Wegener, Martín; Soukoulis, Costas M.; Linden, Stefan (2006), "Fase negativa simultánea y velocidad de grupo de la luz en un metamaterial", Science , 312 (5775): 892–894, Bibcode :2006Sci...312..892D, doi :10.1126/science.1126021 , PMID  16690860, S2CID  29012046
19. Bigelow, Matthew S.; Lepeshkin, Nick N.; Shin, Heedeuk; Boyd, Robert W. (2006), "Propagación de pulsos suaves y discontinuos a través de materiales con velocidades de grupo muy grandes o muy pequeños", Journal of Physics: Condensed Matter , 18 (11): 3117–3126, Bibcode :2006JPCM.. .18.3117B, doi :10.1088/0953-8984/18/11/017, S2CID  38556364
20. Withayachumnankul, W.; Fischer, BM; Ferguson, B.; Davis, BR; Abbott, D. (2010), "Una visión sistematizada de la propagación de ondas superluminales", Actas del IEEE , 98 (10): 1775–1786, doi :10.1109/JPROC.2010.2052910, S2CID  15100571
21. Gehring, George M.; Schweinsberg, Aarón; Barsi, Cristóbal; Kostinski, Natalie; Boyd, Robert W. (2006), "Observación de la propagación de un pulso hacia atrás a través de un medio con una velocidad de grupo negativa", Science , 312 (5775): 895–897, Bibcode :2006Sci...312..895G, doi : 10.1126/ciencia.1124524, PMID  16690861, S2CID  28800603
22. Schweinsberg, A.; Lepeshkin, NN; Bigelow, MS; Boyd, RW; Jarabo, S. (2005), "Observación de la propagación de la luz superluminal y lenta en fibra óptica dopada con erbio" (PDF) , Europhysics Letters , 73 (2): 218–224, Bibcode : 2006EL..... 73.. 218S, CiteSeerX 10.1.1.205.5564 , doi : 10.1209/epl/i2005-10371-0, S2CID  250852270 

Otras lecturas

• Crawford hijo., Frank S. (1968). Waves (Curso de física de Berkeley, vol. 3) , McGraw-Hill, ISBN 978-0070048607 Versión gratuita en línea 
• Tipler, Paul A.; Llewellyn, Ralph A. (2003), Física Moderna (4ª ed.), Nueva York: WH Freeman and Company, pág. 223, ISBN 978-0-7167-4345-3.
• Biot, MA (1957), "Teoremas generales sobre la equivalencia de la velocidad de grupo y el transporte de energía", Physical Review , 105 (4): 1129–1137, Bibcode :1957PhRv..105.1129B, doi :10.1103/PhysRev.105.1129
• Whitham, GB (1961), "Velocidad de grupo y propagación de energía para ondas tridimensionales", Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 675–691, CiteSeerX  10.1.1.205.7999 , doi :10.1002/cpa.3160140337
• Lighthill, MJ (1965), "Velocidad de grupo", IMA Journal of Applied Mathematics , 1 (1): 1–28, doi :10.1093/imamat/1.1.1
• Bretherton, FP ; Garrett, CJR (1968), "Wavetrains in inhomogeneous moving media", Actas de la Royal Society of London , Serie A, Ciencias físicas y matemáticas, 302 (1471): 529–554, Bibcode :1968RSPSA.302..529B, doi :10.1098/rspa.1968.0034, S2CID  202575349
• Hayes, WD (1973), "Velocidad de grupo y propagación de ondas dispersivas no lineales", Actas de la Royal Society of London , Serie A, Ciencias físicas y matemáticas, 332 (1589): 199–221, Bibcode :1973RSPSA.332..199H , doi :10.1098/rspa.1973.0021, S2CID  121521673
• Whitham, GB (1974), Ondas lineales y no lineales , Wiley, ISBN 978-0471940906

enlaces externos

• Greg Egan tiene un excelente subprograma de Java en su sitio web que ilustra la diferencia aparente entre la velocidad de grupo y la velocidad de fase .
• Maarten Ambaum tiene una página web con una película que demuestra la importancia de la velocidad grupal para el desarrollo posterior de los sistemas climáticos.
• Velocidad de fase versus velocidad de grupo: varias relaciones de velocidad de fase y de grupo (animación)