Vectorización (matemáticas)

Conversión de una matriz o un tensor a un vector

En matemáticas , especialmente en álgebra lineal y teoría de matrices , la vectorización de una matriz es una transformación lineal que convierte la matriz en un vector . Específicamente, la vectorización de una matriz A de m × n , denotada como vec( A ), es el vector de columna mn × 1 obtenido al apilar las columnas de la matriz A una encima de la otra:

$${\displaystyle \operatorname {vec} (A)=[a_{1,1},\ldots ,a_{m,1},a_{1,2},\ldots ,a_{m,2},\ldots ,a_{1,n},\ldots ,a_{m,n}]^{\mathrm {T} }}$$

ijAtransposiciónisomorfismo ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m\times n}:=\mathbf {R} ^{m}\otimes \mathbf {R} ^{n}\cong \mathbf {R} ^{mn}}$

Por ejemplo, para la matriz 2×2 , la vectorización es . ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \operatorname {vec} (A)={\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}}}$

Vídeo ilustrativo de la suma vectorizada

La conexión entre la vectorización de A y la vectorización de su transpuesta viene dada por la matriz de conmutación .

Compatibilidad con productos Kronecker

La vectorización se utiliza frecuentemente junto con el producto de Kronecker para expresar la multiplicación de matrices como una transformación lineal sobre matrices. En particular,

$${\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=(C^{\mathrm {T} }\otimes A)\operatorname {vec} (B)}$$

ABCkllmmn^{[nota 1]}endomorfismo adjuntoálgebra de Lie gl( n , C )nncomplejasmatriz identidad nn ${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(X)=AX-XA}$ ${\displaystyle \operatorname {vec} (\operatorname {ad} _{A}(X))=(I_{n}\otimes A-A^{\mathrm {T} }\otimes I_{n}){\text{vec}}(X)}$ ${\displaystyle I_{n}}$

Hay otras dos formulaciones útiles:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {vec} (ABC)&=(I_{n}\otimes AB)\operatorname {vec} (C)=(C^{\mathrm {T} }B^{\mathrm {T} }\otimes I_{k})\operatorname {vec} (A)\\\operatorname {vec} (AB)&=(I_{m}\otimes A)\operatorname {vec} (B)=(B^{\mathrm {T} }\otimes I_{k})\operatorname {vec} (A)\end{aligned}}}$$

De manera más general, se ha demostrado que la vectorización es una autoadjunción en la estructura monoide cerrada de cualquier categoría de matrices. ^[1]

Compatibilidad con productos Hadamard

La vectorización es un homomorfismo de álgebra desde el espacio de n × n matrices con el producto de Hadamard (de entrada) hasta C ^{n 2} con su producto de Hadamard:

$${\displaystyle \operatorname {vec} (A\circ B)=\operatorname {vec} (A)\circ \operatorname {vec} (B).}$$

Compatibilidad con productos internos.

La vectorización es una transformación unitaria del espacio de n × n matrices con el producto interno de Frobenius (o Hilbert-Schmidt ) a C ^{n 2} :

$${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{\dagger }B)=\operatorname {vec} (A)^{\dagger }\operatorname {vec} (B),}$$

^†transpuesta conjugada

Vectorización como suma lineal.

La operación de vectorización matricial se puede escribir en términos de una suma lineal. Sea X una matriz m × n que queremos vectorizar, y sea e _i el i -ésimo vector de base canónica para el espacio n -dimensional, es decir . Sea B _i una matriz de bloques ( mn ) × m definida de la siguiente manera: ${\textstyle \mathbf {e} _{i}=\left[0,\dots ,0,1,0,\dots ,0\right]^{\mathrm {T} }}$

$${\displaystyle \mathbf {B} _{i}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \\\mathbf {I} _{m}\\\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {I} _{m}}$$

B _i consta de n matrices de bloques de tamaño m × m , apiladas en columnas, y todas estas matrices son todas cero excepto la i -ésima, que es una matriz identidad m × m I _m .

Entonces la versión vectorizada de X se puede expresar de la siguiente manera:

$${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {B} _{i}\mathbf {X} \mathbf {e} _{i}}$$

La multiplicación de X por e _i extrae la i -ésima columna, mientras que la multiplicación por B _i la coloca en la posición deseada en el vector final.

Alternativamente, la suma lineal se puede expresar usando el producto de Kronecker :

$${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {X} \mathbf {e} _{i}}$$

Media vectorización

Para una matriz simétrica A , el vector vec( A ) contiene más información de la estrictamente necesaria, ya que la matriz está completamente determinada por la simetría junto con la porción triangular inferior , es decir, las n ( n + 1)/2 entradas en y debajo de la diagonal principal . Para tales matrices, la media vectorización es a veces más útil que la vectorización. La media vectorización, vech( A ), de una matriz simétrica n × n A es el vector columna n ( n + 1)/2 × 1 obtenido vectorizando solo la parte triangular inferior de A :

$${\displaystyle \operatorname {vech} (A)=[A_{1,1},\ldots ,A_{n,1},A_{2,2},\ldots ,A_{n,2},\ldots ,A_{n-1,n-1},A_{n,n-1},A_{n,n}]^{\mathrm {T} }.}$$

Por ejemplo, para la matriz de 2 × 2 , la media vectorización es . ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \operatorname {vech} (A)={\begin{bmatrix}a\\b\\d\end{bmatrix}}}$

Existen matrices únicas que transforman la semivectorización de una matriz en su vectorización y viceversa llamadas, respectivamente, matriz de duplicación y matriz de eliminación .

Lenguaje de programación

Los lenguajes de programación que implementan matrices pueden tener medios fáciles para la vectorización. En Matlab / GNU OctaveA se puede vectorizar una matriz mediante A(:).GNU Octave también permite la vectorización y media vectorización con vec(A)y vech(A)respectivamente. Juliavec(A) también tiene la función. En Python, las matrices NumPy implementan el flattenmétodo ^{[nota 1]} , mientras que en R el efecto deseado se puede lograr mediante las funciones c()o . as.vector()En R , la función vec()del paquete 'ks' permite la vectorización y la función vech()implementada en los paquetes 'ks' y 'sn' permite la media vectorización. ^{[2] [3] [4]}

Aplicaciones

La vectorización se utiliza en cálculo matricial y sus aplicaciones para establecer, por ejemplo, momentos de vectores y matrices aleatorios, asintóticas, así como matrices jacobianas y hessianas. ^[5] También se utiliza en sensibilidad local y diagnóstico estadístico. ^[6]

Notas

1. La identidad para la vectorización de filas principales es . ${\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=(A\otimes C^{\mathrm {T} })\operatorname {vec} (B)}$

Ver también

• Matrices de duplicación y eliminación.
• notación voigt
• Matriz de almacenamiento empaquetada
• Orden de columna principal
• Matrización

Referencias

1. Macedo, HD; Oliveira, JN (2013). "Escribiendo álgebra lineal: un enfoque orientado a biproductos". Ciencia de la programación informática . 78 (11): 2160–2191. arXiv : 1312.4818 . doi :10.1016/j.scico.2012.07.012. S2CID  9846072.
2. Duong, Tarn (2018). "ks: Suavizado del kernel". Versión del paquete R 1.11.0 .
3. Azzalini, Adelchi (2017). "El paquete R 'sn': las distribuciones Skew-Normal y relacionadas, como Skew-t". Paquete R versión 1.5.1 .
4. Vinod, Hrishikesh D. (2011). "Reducción simultánea y apilamiento de Vec". Álgebra matricial práctica con R: aprendizaje activo y motivado con aplicaciones . Singapur: World Scientific. págs. 233–248. ISBN 978-981-4313-69-8– a través de libros de Google .
5. Magnus, enero; Neudecker, Heinz (2019). Cálculo diferencial matricial con aplicaciones en estadística y econometría . Nueva York: John Wiley. ISBN 9781119541202.
6. Liu, Shuangzhe; Leiva, Víctor; Zhuang, Dan; Mamá, Tiefeng; Figueroa-Zúñiga, Jorge I. (marzo 2022). "Cálculo diferencial matricial con aplicaciones en el modelo lineal multivariado y su diagnóstico". Revista de análisis multivariado . 188 : 104849. doi : 10.1016/j.jmva.2021.104849 .