notación voigt

Concepto matemático

En matemáticas , la notación de Voigt o forma de Voigt en álgebra multilineal es una forma de representar un tensor simétrico reduciendo su orden. ^[1] Hay algunas variantes y nombres asociados para esta idea: notación de Mandel , notación de Mandel-Voigt y notación de Nye son otras que se encuentran. La notación Kelvin es un resurgimiento por parte de Helbig ^[2] de las viejas ideas de Lord Kelvin . Las diferencias aquí radican en ciertos pesos asignados a las entradas seleccionadas del tensor. La nomenclatura puede variar según lo tradicional en el campo de aplicación.

Por ejemplo, un tensor X simétrico de 2 × 2 tiene solo tres elementos distintos, dos en la diagonal y el otro fuera de la diagonal. Por lo tanto se puede expresar como el vector

${\displaystyle \langle x_{11},x_{22},x_{12}\rangle }$.

Como otro ejemplo:

El tensor de tensión (en notación matricial) se da como

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{matrix}}\right].}$

En notación de Voigt se simplifica a un vector de 6 dimensiones:

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}=(\sigma _{xx},\sigma _{yy},\sigma _{zz},\sigma _{yz},\sigma _{xz},\sigma _{xy})\equiv (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4},\sigma _{5},\sigma _{6}).}$

El tensor de deformación, de naturaleza similar al tensor de tensión (ambos son tensores simétricos de segundo orden), se da en forma matricial como

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}=\left[{\begin{matrix}\epsilon _{xx}&\epsilon _{xy}&\epsilon _{xz}\\\epsilon _{yx}&\epsilon _{yy}&\epsilon _{yz}\\\epsilon _{zx}&\epsilon _{zy}&\epsilon _{zz}\end{matrix}}\right].}$

Su representación en notación Voigt es

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}=(\epsilon _{xx},\epsilon _{yy},\epsilon _{zz},\gamma _{yz},\gamma _{xz},\gamma _{xy})\equiv (\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3},\epsilon _{4},\epsilon _{5},\epsilon _{6}),}$

donde , y son deformaciones de corte de ingeniería. ${\displaystyle \gamma _{xy}=2\epsilon _{xy}}$ ${\displaystyle \gamma _{yz}=2\epsilon _{yz}}$ ${\displaystyle \gamma _{zx}=2\epsilon _{zx}}$

El beneficio de utilizar diferentes representaciones para tensión y deformación es que la invariancia escalar

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\epsilon }}=\sigma _{ij}\epsilon _{ij}={\tilde {\sigma }}\cdot {\tilde {\epsilon }}}$

se conserva.

Asimismo, un tensor simétrico tridimensional de cuarto orden se puede reducir a una matriz de 6 × 6.

regla mnemotécnica

Una regla mnemotécnica sencilla para memorizar la notación de Voigt es la siguiente:

• Escriba el tensor de segundo orden en forma matricial (en el ejemplo, el tensor de tensión)
• Tachar la diagonal
• Continuar en la tercera columna.
• Vuelve al primer elemento de la primera fila.

Los índices de Voigt están numerados consecutivamente desde el punto inicial hasta el final (en el ejemplo, los números en azul).

notación mandel

Para un tensor simétrico de segundo rango

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]}$

sólo seis componentes son distintos, los tres en la diagonal y los demás fuera de la diagonal. Por tanto, se puede expresar, en notación de Mandel, ^[3] como el vector

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{M}=\langle \sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},{\sqrt {2}}\sigma _{23},{\sqrt {2}}\sigma _{13},{\sqrt {2}}\sigma _{12}\rangle .}$

La principal ventaja de la notación de Mandel es que permite el uso de las mismas operaciones convencionales que se utilizan con los vectores, por ejemplo:

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {\sigma }}={\tilde {\sigma }}^{M}\cdot {\tilde {\sigma }}^{M}=\sigma _{11}^{2}+\sigma _{22}^{2}+\sigma _{33}^{2}+2\sigma _{23}^{2}+2\sigma _{13}^{2}+2\sigma _{12}^{2}.}$

Un tensor simétrico de rango cuatro es satisfactorio y tiene 81 componentes en un espacio tridimensional, pero sólo 36 componentes son distintos. Por tanto, en notación de Mandel, se puede expresar como ${\displaystyle D_{ijkl}=D_{jikl}}$ ${\displaystyle D_{ijkl}=D_{ijlk}}$

${\displaystyle {\tilde {D}}^{M}={\begin{pmatrix}D_{1111}&D_{1122}&D_{1133}&{\sqrt {2}}D_{1123}&{\sqrt {2}}D_{1113}&{\sqrt {2}}D_{1112}\\D_{2211}&D_{2222}&D_{2233}&{\sqrt {2}}D_{2223}&{\sqrt {2}}D_{2213}&{\sqrt {2}}D_{2212}\\D_{3311}&D_{3322}&D_{3333}&{\sqrt {2}}D_{3323}&{\sqrt {2}}D_{3313}&{\sqrt {2}}D_{3312}\\{\sqrt {2}}D_{2311}&{\sqrt {2}}D_{2322}&{\sqrt {2}}D_{2333}&2D_{2323}&2D_{2313}&2D_{2312}\\{\sqrt {2}}D_{1311}&{\sqrt {2}}D_{1322}&{\sqrt {2}}D_{1333}&2D_{1323}&2D_{1313}&2D_{1312}\\{\sqrt {2}}D_{1211}&{\sqrt {2}}D_{1222}&{\sqrt {2}}D_{1233}&2D_{1223}&2D_{1213}&2D_{1212}\\\end{pmatrix}}.}$

Aplicaciones

La notación lleva el nombre del físico Woldemar Voigt y John Nye (científico) . Es útil, por ejemplo, en cálculos que involucran modelos constitutivos para simular materiales, como la ley generalizada de Hooke , así como análisis de elementos finitos , ^[4] y resonancia magnética de difusión . ^[5]

La ley de Hooke tiene un tensor de rigidez simétrico de cuarto orden con 81 componentes (3 × 3 × 3 × 3), pero debido a que la aplicación de dicho tensor de rango 4 a un tensor simétrico de rango 2 debe producir otro tensor simétrico de rango 2, No todos los 81 elementos son independientes. La notación de Voigt permite representar un tensor de rango 4 mediante una matriz de 6 × 6. Sin embargo, la forma de Voigt no conserva la suma de los cuadrados, que en el caso de la ley de Hooke tiene significado geométrico. Esto explica por qué se introducen pesos (para hacer que el mapeo sea una isometría ).

En Helnwein (2001) se puede encontrar una discusión sobre la invariancia de la notación de Voigt y la notación de Mandel. ^[6]

Referencias

1. Woldemar Voigt (1910). Lehrbuch der Kristallphysik. Teubner, Leipzig . Consultado el 29 de noviembre de 2016 .
2. Klaus Helbig (1994). Fundamentos de la anisotropía para la sísmica de exploración . Pérgamo. ISBN 0-08-037224-4.
3. Jean Mandel (1965). "Généralización de la teoría de la plasticidad de WT Koiter". Revista Internacional de Sólidos y Estructuras . 1 (3): 273–295. doi :10.1016/0020-7683(65)90034-x.
4. OC Zienkiewicz; RL Taylor; JZ Zhu (2005). El método de los elementos finitos: sus bases y fundamentos (6 ed.). Elsevier Butterworth—Heinemann. ISBN 978-0-7506-6431-8.
5. Maher Moakher (2009). "El álgebra de tensores de cuarto orden con aplicación a la resonancia magnética de difusión". Visualización y Procesamiento de Campos Tensoriales . Matemáticas y Visualización. Springer Berlín Heidelberg. págs. 57–80. doi :10.1007/978-3-540-88378-4_4. ISBN 978-3-540-88377-7.
6. Peter Helnwein (16 de febrero de 2001). "Algunas observaciones sobre la representación matricial comprimida de tensores simétricos de segundo y cuarto orden". Métodos Informáticos en Mecánica e Ingeniería Aplicadas . 190 (22–23): 2753–2770. Código Bib : 2001CMAME.190.2753H. doi :10.1016/s0045-7825(00)00263-2.

Ver también

• Vectorización (matemáticas)
• ley de Hooke