remodelación del tensor

En álgebra multilineal , una remodelación de tensores es cualquier biyección entre el conjunto de índices de un tensor de orden y el conjunto de índices de un tensor de orden, donde . El uso de índices presupone tensores en representación coordinada con respecto a una base. La representación de coordenadas de un tensor puede considerarse como una matriz multidimensional y, por lo tanto, una biyección de un conjunto de índices a otro equivale a una reorganización de los elementos de la matriz en una matriz de una forma diferente. Tal reordenamiento constituye un tipo particular de aplicación lineal entre el espacio vectorial de tensores de orden y el espacio vectorial de tensores de orden. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L<M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$

Definición

Dado un número entero positivo , la notación se refiere al conjunto de los primeros M enteros positivos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,M\}}$

Para cada número entero donde sea un número entero positivo , denotemos un espacio vectorial andimensional sobre un campo . Luego están los isomorfismos del espacio vectorial (mapas lineales) ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 1\leq m\leq M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle I_{m}}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{M}&\simeq F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}I_{\pi _{2}}}\otimes F^{I_{\pi _{3}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}I_{\pi _{3}}}\otimes F^{I_{\pi _{2}}}\otimes F^{I_{\pi _{4}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\,\,\,\vdots \\&\simeq F^{I_{1}I_{2}\ldots I_{M}},\end{aligned}}}$$

donde es cualquier permutación y es el grupo simétrico de elementos. A través de estos (y otros) isomorfismos del espacio vectorial, un tensor se puede interpretar de varias maneras como un tensor de orden donde . ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{M}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\leq M}$

Coordinar la representación

El primer isomorfismo del espacio vectorial en la lista anterior, proporciona la representación coordinada de un tensor abstracto. Supongamos que cada uno de los espacios vectoriales tiene una base . La expresión de un tensor con respecto a esta base tiene la forma ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{M}\simeq F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle \{v_{1}^{m},v_{2}^{m},\ldots ,v_{I_{m}}^{m}\}}$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\ldots \sum _{i_{M}=1}^{I_{M}}a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}v_{i_{1}}^{1}\otimes v_{i_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes v_{i_{M}}^{M},}$$

${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle \sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\ldots \sum _{i_{M}=1}^{I_{M}}a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}\mathbf {e} _{i_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{i_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{M}}^{M},}$$

vector base estándarde M ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{m}}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}}$ ${\displaystyle F^{I_{m}}}$ ${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}}$

Aplanamientos generales

Para cualquier permutación existe un isomorfismo canónico entre los dos productos tensoriales de espacios vectoriales y . Los paréntesis generalmente se omiten en dichos productos debido al isomorfismo natural entre y , pero, por supuesto, pueden reintroducirse para enfatizar un grupo particular de factores. En la agrupación, ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{M}}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{M}}$ ${\displaystyle V_{\pi (1)}\otimes V_{\pi (2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (M)}}$ ${\displaystyle V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}$ ${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}}$

$${\displaystyle (V_{\pi (1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{1})})\otimes (V_{\pi (r_{1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{2})})\otimes \cdots \otimes (V_{\pi (r_{L-1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{L})}),}$$

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle r_{l}-r_{l-1}}$ ${\displaystyle l^{\text{th}}}$ ${\displaystyle r_{0}=0}$ ${\displaystyle r_{L}=M}$

Dejemos que para cada satisfactorio , se obtenga un aplanamiento de un tensor , denotado , aplicando los dos procesos anteriores dentro de cada uno de los grupos de factores. Es decir, la representación coordinada del grupo de factores se obtiene mediante el isomorfismo , que requiere especificar bases para todos los espacios vectoriales . Luego, el resultado se vectoriza usando una biyección para obtener un elemento de , donde , el producto de las dimensiones de los espacios vectoriales en el grupo de factores. El resultado de aplicar estos isomorfismos dentro de cada grupo de factores es un elemento de , que es un tensor de orden . ${\displaystyle S_{l}=(\pi (r_{l-1}+1),\pi (r_{l-1}+2),\ldots ,\pi (r_{l}))}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 1\leq l\leq L}$ ${\displaystyle (S_{1},S_{2},\ldots ,S_{L})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{L})}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle l^{\text{th}}}$ ${\displaystyle (V_{\pi (r_{l-1}+1)}\otimes V_{\pi (r_{l-1}+2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{l})})\simeq (F^{I_{\pi (r_{l-1}+1)}}\otimes F^{I_{\pi (r_{l-1}+2)}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi (r_{l})}})}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle \mu _{l}:[I_{\pi (r_{l-1}+1)}]\times [I_{\pi (r_{l-1}+2)}]\times \cdots \times [I_{\pi (r_{l})}]\to [I_{S_{l}}]}$ ${\displaystyle F^{I_{S_{l}}}}$ ${\textstyle I_{S_{l}}:=\prod _{i=r_{l-1}+1}^{r_{l}}I_{\pi (i)}}$ ${\displaystyle l^{\text{th}}}$ ${\displaystyle F^{I_{S_{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{S_{L}}}}$ ${\displaystyle L}$

Vectorización

Por medio de un mapa biyectivo , se construye un isomorfismo en el espacio vectorial entre y mediante el mapeo donde para cada número natural tal que , el vector denota el i- ésimo vector de base estándar de . En tal remodelación, el tensor se interpreta simplemente como un vector en . Esto se conoce como vectorización y es análogo a la vectorización de matrices . Una elección estándar de biyección es tal que ${\displaystyle \mu :[I_{1}]\times \cdots \times [I_{M}]\to [I_{1}\cdots I_{M}]}$ ${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$ ${\displaystyle F^{I_{1}\cdots I_{M}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i_{1}}^{1}\otimes \cdots \mathbf {e} _{i_{m}}^{m}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{M}}^{M}\mapsto \mathbf {e} _{\mu (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M})},}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq I_{1}\cdots I_{M}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle F^{i_{1}\cdots i_{M}}}$ ${\displaystyle F^{I_{1}\cdots I_{M}}}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \operatorname {vec} ({\mathcal {A}})={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},1,\ldots ,1}&a_{1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M}}\end{bmatrix}}^{T},}$$

lo cual es consistente con la forma en que el operador de dos puntos en Matlab y GNU Octave transforma un tensor de orden superior en un vector. En general, la vectorización de es el vector . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle [a_{\mu ^{-1}(i)}]_{i=1}^{I_{1}\cdots I_{M}}}$

La vectorización de denotada con o es una remodelación donde y . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle vec({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{[:]}}$ ${\displaystyle [S_{1},S_{2}]}$ ${\displaystyle S_{1}=(1,2,\ldots ,M)}$ ${\displaystyle S_{2}=\emptyset }$

Modo- ​​m Aplanamiento / Modo- ​​m Matrixización

Sea la representación coordinada de un tensor abstracto con respecto a una base. La matrizización moderna (también conocida como aplanamiento ) de es una remodelación en la que y . Por lo general, una matriz estándar se denota por ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle [S_{1},S_{2}]}$ ${\displaystyle S_{1}=(m)}$ ${\displaystyle S_{2}=(1,2,\ldots ,m-1,m+1,\ldots ,M)}$

$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{[m]}={\mathcal {A}}_{[S_{1},S_{2}]}}$$

Esta remodelación a veces se denomina matricialización , matricización , aplanamiento o despliegue en la literatura. Una elección estándar para las biyecciones es la que es consistente con la función de remodelación en Matlab y GNU Octave, a saber ${\displaystyle \mu _{1},\ \mu _{2}}$

$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{[m]}:={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},1,I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\\a_{1,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},2,I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{1,1,\ldots ,1,I_{m},1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,I_{m},1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},I_{m},I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\end{bmatrix}}}$$

Modo de definición -m Matrixización: ^[1]

$${\displaystyle [{\mathbf {A} }_{[m]}]_{jk}=a_{i_{1}\dots i_{m}\dots i_{M}},\;\;{\text{ where }}j=i_{m}{\text{ and }}k=1+\sum _{n=0 \atop n\neq m}^{M}(i_{n}-1)\prod _{l=0 \atop l\neq m}^{n-1}I_{l}.}$$

dem ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}\times ...I_{M}},}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{[m]}\in F^{I_{m}\times (I_{1}\dots I_{m-1}I_{m+1}\dots I_{M})}}$

Referencias

1. Vasilescu, M. Alex O. (2009), "Marco algebraico multilineal (tensorial) para gráficos por computadora, visión por computadora y aprendizaje automático" (PDF) , Universidad de Toronto , p. 21