Ortonormalidad

Propiedad de dos o más vectores que son ortogonales y de longitud unitaria

En álgebra lineal , dos vectores en un espacio producto interno son ortonormales si son vectores unitarios ortogonales . Un vector unitario significa que el vector tiene una longitud de 1, lo que también se conoce como normalizado. Ortogonal significa que todos los vectores son perpendiculares entre sí. Un conjunto de vectores forma un conjunto ortonormal si todos los vectores del conjunto son mutuamente ortogonales y todos tienen una longitud unitaria. Un conjunto ortonormal que forma una base se llama base ortonormal .

Descripción general intuitiva

La construcción de la ortogonalidad de los vectores está motivada por el deseo de extender la noción intuitiva de vectores perpendiculares a espacios de dimensiones superiores. En el plano cartesiano , se dice que dos vectores son perpendiculares si el ángulo entre ellos es de 90° (es decir, si forman un ángulo recto ). Esta definición se puede formalizar en el espacio cartesiano definiendo el producto escalar y especificando que dos vectores en el plano son ortogonales si su producto escalar es cero.

De manera similar, la construcción de la norma de un vector está motivada por el deseo de extender la noción intuitiva de la longitud de un vector a espacios de dimensiones superiores. En el espacio cartesiano, la norma de un vector es la raíz cuadrada del vector punteada por sí mismo. Eso es,

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}}$

Muchos resultados importantes en álgebra lineal tratan de colecciones de dos o más vectores ortogonales. Pero a menudo es más fácil trabajar con vectores de longitud unitaria . Es decir, a menudo simplifica las cosas considerar sólo vectores cuya norma es igual a 1. La noción de restringir pares ortogonales de vectores a sólo aquellos de longitud unitaria es lo suficientemente importante como para recibir un nombre especial. Dos vectores ortogonales y de longitud 1 se llaman ortonormales .

Ejemplo sencillo

¿Cómo se ve un par de vectores ortonormales en el espacio euclidiano bidimensional?

Sean u = (x ₁ , y ₁ ) y v = (x ₂ , y ₂ ). Considere las restricciones sobre x ₁ , x ₂ , y ₁ , y ₂ necesarias para que u y v formen un par ortonormal.

• A partir de la restricción de ortogonalidad, u • v = 0.
• A partir de la restricción de longitud unitaria en u , || tú || = 1.
• A partir de la restricción de longitud unitaria en v , || v || = 1.

Al expandir estos términos se obtienen 3 ecuaciones:

1. ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad }$
2. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1}$
3. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1}$

Al convertir de coordenadas cartesianas a polares y considerar la ecuación y la ecuación, se obtiene inmediatamente el resultado r ₁ = r ₂ = 1. En otras palabras, requerir que los vectores tengan una longitud unitaria restringe que los vectores se encuentren en el círculo unitario . ${\displaystyle (2)}$ ${\displaystyle (3)}$

Después de la sustitución, la ecuación pasa a ser . Reorganizar da . Usar una identidad trigonométrica para convertir el término cotangente da ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0}$ ${\displaystyle \tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}}$

${\displaystyle \tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}}$

Está claro que en el plano los vectores ortonormales son simplemente radios del círculo unitario cuya diferencia de ángulos es igual a 90°.

Definición

Sea un espacio de producto interno . Un conjunto de vectores ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \right\}\in {\mathcal {V}}}$

se llama ortonormal si y sólo si

${\displaystyle \forall i,j:\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

donde es el delta de Kronecker y es el producto interno definido sobre . ${\displaystyle \delta _{ij}\,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Significado

Los conjuntos ortonormales no son especialmente significativos por sí solos. Sin embargo, muestran ciertas características que los hacen fundamentales en la exploración de la noción de diagonalizabilidad de ciertos operadores en espacios vectoriales.

Propiedades

Los conjuntos ortonormales tienen ciertas propiedades muy atractivas, que los hacen particularmente fáciles de trabajar.

• Teorema . Si { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } es una lista ortonormal de vectores, entonces
  $${\displaystyle \forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}}$$
• Teorema . Cada lista ortonormal de vectores es linealmente independiente .

Existencia

• Teorema de Gram-Schmidt . Si { v ₁ , v ₂ ,..., v _n } es una lista linealmente independiente de vectores en un espacio de producto interno, entonces existe una lista ortonormal { e ₁ , e ₂ ,..., e _n } de vectores entales que span ( e ₁ , e ₂ ,..., e _n ) = span ( v ₁ , v ₂ ,..., v _n ). ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

La demostración del teorema de Gram-Schmidt es constructiva y se analiza extensamente en otra parte. El teorema de Gram-Schmidt, junto con el axioma de elección , garantiza que todo espacio vectorial admite una base ortonormal. Este es posiblemente el uso más significativo de la ortonormalidad, ya que este hecho permite discutir los operadores en espacios de productos internos en términos de su acción sobre los vectores de base ortonormal del espacio. Lo que resulta es una relación profunda entre la diagonalizabilidad de un operador y cómo actúa sobre los vectores de base ortonormal. Esta relación se caracteriza por el Teorema Espectral .

Ejemplos

Base estándar

La base estándar para el espacio de coordenadas F ⁿ es

Dos vectores cualesquiera e _i , e _j donde i≠j son ortogonales y todos los vectores son claramente de longitud unitaria. Entonces { e ₁ , e ₂ ,..., e _n } forma una base ortonormal.

Funciones de valor real

Cuando se hace referencia a funciones de valor real , normalmente se supone el producto interno L² a menos que se indique lo contrario. Dos funciones y son ortonormales en el intervalo si ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle (1)\quad \langle \phi (x),\psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {and}}}$

${\displaystyle (2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.}$

series de Fourier

La serie de Fourier es un método para expresar una función periódica en términos de funciones de base sinusoidal . Tomando C [−π,π] como el espacio de todas las funciones de valores reales continuas en el intervalo [−π,π] y tomando el producto interno como

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx}$

se puede demostrar que

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N} }$

forma un conjunto ortonormal.

Sin embargo, esto tiene pocas consecuencias, porque C [−π,π] es de dimensión infinita y un conjunto finito de vectores no puede abarcarlo. Pero, eliminar la restricción de que n sea finito hace que el conjunto sea denso en C [−π,π] y por lo tanto una base ortonormal de C [−π,π].

Ver también

• Ortogonalización
• Sistema de función ortonormal

Fuentes

• Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , p. 106–110, ISBN 978-0-387-98258-8
• Chen, Wai-Kai (2009), Fundamentos de circuitos y filtros (3.ª ed.), Boca Ratón : CRC Press , p. 62, ISBN 978-1-4200-5887-1