En matemáticas , un álgebra geométrica universal es un tipo de álgebra geométrica generada por espacios vectoriales reales dotados de una forma cuadrática indefinida . Algunos autores la restringen al caso de dimensión infinita .
El álgebra geométrica universal ( n , n ) de orden 2 2 n se define como el álgebra de Clifford del espacio pseudoeuclidiano de 2 n dimensiones R n , n . [1] Esta álgebra también se denomina "álgebra madre". Tiene una firma no degenerada. Los vectores en este espacio generan el álgebra a través del producto geométrico . Este producto hace que la manipulación de vectores sea más similar a las reglas algebraicas familiares, aunque no conmutativas .
Cuando n = ∞ , es decir, hay un número contable de dimensiones, entonces (∞, ∞) se denomina simplemente álgebra geométrica universal (UGA), que contiene espacios vectoriales como R p , q y sus respectivas álgebras geométricas ( p , q ) .
UGA contiene todas las álgebras geométricas de dimensión finita (GA).
Los elementos de UGA se denominan multivectores. Cada multivector puede escribirse como la suma de varios r -vectores. Algunos r -vectores son escalares ( r = 0 ), vectores ( r = 1 ) y bivectores ( r = 2 ).
Se puede generar un AG de dimensión finita eligiendo un pseudoescalar unitario ( I ). El conjunto de todos los vectores que satisfacen
es un espacio vectorial. El producto geométrico de los vectores en este espacio vectorial define entonces el GA, del cual I es miembro. Como cada GA de dimensión finita tiene un I único ( hasta un signo), se puede definir o caracterizar el GA por él. Un pseudoescalar se puede interpretar como un segmento de n -planos de área unitaria en un espacio vectorial de n -dimensionalidad.
Una variedad vectorial es un conjunto especial de vectores en la UGA. [2] Estos vectores generan un conjunto de espacios lineales tangentes a la variedad vectorial. Las variedades vectoriales se introdujeron para realizar cálculos sobre variedades, de modo que se puedan definir variedades (diferenciables) como un conjunto isomorfo a una variedad vectorial. La diferencia radica en que una variedad vectorial es algebraicamente rica, mientras que una variedad no lo es. Dado que esta es la motivación principal de las variedades vectoriales, la siguiente interpretación es gratificante.
Consideremos una variedad vectorial como un conjunto especial de "puntos". Estos puntos son miembros de un álgebra y, por lo tanto, pueden sumarse y multiplicarse. Estos puntos generan un espacio tangente de dimensión definida "en" cada punto. Este espacio tangente genera un pseudoescalar (unitario) que es una función de los puntos de la variedad vectorial. Una variedad vectorial se caracteriza por su pseudoescalar. El pseudoescalar puede interpretarse como un segmento n -plano orientado tangentemente de área unitaria. Teniendo esto en cuenta, una variedad se ve localmente como R n en cada punto.
Aunque una variedad vectorial puede tratarse como un objeto completamente abstracto, se crea un álgebra geométrica de modo que cada elemento del álgebra represente un objeto geométrico y las operaciones algebraicas como sumar y multiplicar correspondan a transformaciones geométricas.
Consideremos un conjunto de vectores { x } = M n en UGA. Si este conjunto de vectores genera un conjunto de vectores ( n + 1) "tangentes" simples , es decir
Entonces M n es una variedad vectorial, el valor de A es el de un simple n -vector. Si se interpretan estos vectores como puntos, entonces I n ( x ) es el pseudoescalar de un álgebra tangente a M n en x . I n ( x ) se puede interpretar como una unidad de área en un plano n orientado : por eso se etiqueta con n . La función I n da una distribución de estos n -planos tangentes sobre M n .
Una variedad vectorial se define de manera similar a cómo se puede definir un AG particular, por su pseudoescalar unitario. El conjunto { x } no está cerrado respecto de la adición y la multiplicación por escalares. Este conjunto no es un espacio vectorial. En cada punto, los vectores generan un espacio tangente de dimensión definida. Los vectores en este espacio tangente son diferentes de los vectores de la variedad vectorial. En comparación con el conjunto original, son bivectores, pero como abarcan un espacio lineal (el espacio tangente), también se los denomina vectores. Observe que la dimensión de este espacio es la dimensión de la variedad. Este espacio lineal genera un álgebra y su pseudoescalar unitario caracteriza la variedad vectorial. Esta es la manera en que el conjunto de vectores abstractos { x } define la variedad vectorial. Una vez que el conjunto de "puntos" genera el "espacio tangente", el "álgebra tangente" y su "pseudoescalar" siguen inmediatamente.
La unidad pseudoescalar de la variedad vectorial es una función (con valor pseudoescalar) de los puntos de la variedad vectorial. Si, por ejemplo, esta función es suave, entonces se dice que la variedad vectorial es suave. [3] Una variedad se puede definir como un conjunto isomorfo [ ¿cómo? ] a una variedad vectorial. Los puntos de una variedad no tienen ninguna estructura algebraica y pertenecen únicamente al conjunto mismo. Esta es la principal diferencia entre una variedad vectorial y una variedad que es isomorfa. Una variedad vectorial es siempre un subconjunto del Álgebra Geométrica Universal por definición y los elementos se pueden manipular algebraicamente. Por el contrario, una variedad no es un subconjunto de ningún conjunto que no sea ella misma, pero los elementos no tienen ninguna relación algebraica entre ellos.
La geometría diferencial de una variedad [3] se puede llevar a cabo en una variedad vectorial. Todas las cantidades relevantes para la geometría diferencial se pueden calcular a partir de I n ( x ) si es una función diferenciable. Esta es la motivación original detrás de su definición. Las variedades vectoriales permiten un enfoque de la geometría diferencial de variedades alternativo al enfoque de "construcción" donde se introducen estructuras como métricas , conexiones y haces de fibras según sea necesario. [4] La estructura relevante de una variedad vectorial es su álgebra tangente . El uso del cálculo geométrico junto con la definición de variedad vectorial permiten el estudio de las propiedades geométricas de las variedades sin utilizar coordenadas.
