Vector de onda

Vector que describe una onda; a menudo su dirección de propagación.

En física , un vector de onda (o vector de onda ) es un vector que se utiliza para describir una onda , y cuya unidad típica es el ciclo por metro. Tiene una magnitud y una dirección . Su magnitud es el número de onda de la onda (inversamente proporcional a la longitud de onda ) y su dirección es perpendicular al frente de onda. En medios isótropos, esta es también la dirección de propagación de la onda .

Un vector estrechamente relacionado es el vector de onda angular (o vector de onda angular ), cuya unidad típica es el radián por metro. El vector de onda y el vector de onda angular están relacionados por una constante fija de proporcionalidad, 2 π  radianes por ciclo. ^[a]

Es común en varios campos de la física referirse al vector de onda angular simplemente como el vector de onda , en contraste con, por ejemplo, la cristalografía . ^{[1] [2]} También es común utilizar el símbolo k para cualquiera que esté en uso.

En el contexto de la relatividad especial , se puede definir una onda de cuatro vectores , que combina el vector de onda (angular) y la frecuencia (angular).

Definición

La longitud de onda de una onda sinusoidal , λ , se puede medir entre dos puntos consecutivos con la misma fase , como entre crestas o valles adyacentes, o cruces por cero adyacentes con la misma dirección de tránsito, como se muestra.

Los términos vector de onda y vector de onda angular tienen significados distintos. Aquí, el vector de onda se denota por y el número de onda por . El vector de onda angular se denota por k y el número de onda angular por k = | k | . Estos están relacionados por . ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\nu }}=\left|{\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\right|}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}}$

Una onda viajera sinusoidal sigue la ecuación

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi ),}$

dónde:

• r es posición,
• Es hora,
• ψ es una función de r y t que describe la perturbación que describe la ola (por ejemplo, para una ola del océano , ψ sería el exceso de altura del agua, o para una onda de sonido , ψ sería el exceso de presión del aire ).
• A es la amplitud de la onda (la magnitud máxima de la oscilación),
• φ es un desfase de fase ,
• ω es la frecuencia angular (temporal) de la onda, que describe cuántos radianes recorre por unidad de tiempo y está relacionada con el período T mediante la ecuación ${\displaystyle \omega ={\tfrac {2\pi }{T}},}$
• k es el vector de onda angular de la onda, que describe cuántos radianes recorre por unidad de distancia y está relacionado con la longitud de onda mediante la ecuación ${\displaystyle |\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}.}$

La ecuación equivalente que utiliza el vector de onda y la frecuencia es ^[3]

${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),}$

dónde:

• ${\displaystyle f}$es la frecuencia
• ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}}$es el vector de onda

Dirección del vector de onda

La dirección en la que apunta el vector de onda debe distinguirse de la "dirección de propagación de la onda ". La "dirección de propagación de la onda" es la dirección del flujo de energía de una onda, y la dirección en la que se moverá un pequeño paquete de ondas , es decir, la dirección de la velocidad de grupo . Para las ondas de luz en el vacío, esta es también la dirección del vector de Poynting . Por otro lado, el vector de onda apunta en la dirección de la velocidad de fase . En otras palabras, el vector de onda apunta en la dirección normal a las superficies de fase constante , también llamadas frentes de onda .

En un medio isotrópico sin pérdidas , como el aire, cualquier gas, cualquier líquido, sólidos amorfos (como el vidrio ) y cristales cúbicos , la dirección del vector de onda es la misma que la dirección de propagación de la onda. Si el medio es anisotrópico, el vector de onda en general apunta en direcciones distintas a la de propagación de la onda. El vector de onda siempre es perpendicular a superficies de fase constante.

Por ejemplo, cuando una onda viaja a través de un medio anisotrópico , como las ondas de luz a través de un cristal asimétrico o las ondas sonoras a través de una roca sedimentaria , el vector de onda puede no apuntar exactamente en la dirección de propagación de la onda. ^{[4] [5]}

En física del estado sólido

En física del estado sólido , el "vector de onda" (también llamado vector k ) de un electrón o un hueco en un cristal es el vector de onda de su función de onda mecánica cuántica . Estas ondas de electrones no son ondas sinusoidales ordinarias , pero tienen un tipo de función envolvente que es sinusoidal, y el vector de onda se define a través de esa onda envolvente, generalmente utilizando la "definición física". Consulte el teorema de Bloch para obtener más detalles. ^[6]

En relatividad especial

Una superficie de onda en movimiento en la relatividad especial puede considerarse como una hipersuperficie (un subespacio 3D) en el espacio-tiempo, formada por todos los eventos que pasan por la superficie de onda. Un tren de ondas (denotado por alguna variable X ) puede considerarse como una familia de un parámetro de tales hipersuperficies en el espacio-tiempo. Esta variable X es una función escalar de la posición en el espacio-tiempo. La derivada de este escalar es un vector que caracteriza la onda, el vector de cuatro ondas. ^[7]

El cuatrivector es un cuatrivector de onda que se define, en coordenadas de Minkowski , como:

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,}$

donde la frecuencia angular es el componente temporal y el vector de número de onda es el componente espacial. ${\displaystyle {\tfrac {\omega }{c}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$

Alternativamente, el número de onda k puede escribirse como la frecuencia angular ω dividida por la velocidad de fase v _p , o en términos del período inverso T y la longitud de onda inversa λ .

Cuando se escribe explícitamente sus formas contravariantes y covariantes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}}$

En general, la magnitud escalar de Lorentz del cuatrivector de onda es:

${\displaystyle K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

El vector de cuatro ondas es nulo para partículas sin masa (fotónicas), donde la masa en reposo ${\displaystyle m_{o}=0}$

Un ejemplo de un vector de cuatro ondas nulo sería un haz de luz coherente y monocromática , que tiene velocidad de fase. ${\displaystyle v_{p}=c}$

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,}${para similar a la luz/nulo}

que tendría la siguiente relación entre la frecuencia y la magnitud de la parte espacial del vector de cuatro ondas:

${\displaystyle K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0}${para similar a la luz/nulo}

El vector de cuatro ondas está relacionado con el momento cuádruple de la siguiente manera:

${\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$

El vector de cuatro ondas está relacionado con la frecuencia de cuatro de la siguiente manera:

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)}$

El vector de cuatro ondas está relacionado con las cuatro velocidades de la siguiente manera:

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)}$

Transformación de Lorentz

Una forma de derivar el efecto Doppler relativista es tomar la transformación de Lorentz del vector de cuatro ondas . La matriz de Lorentz se define como

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

En la situación en la que una fuente que se mueve rápidamente emite luz y uno quisiera saber la frecuencia de la luz detectada en un marco terrestre (de laboratorio), aplicaríamos la transformación de Lorentz de la siguiente manera. Tenga en cuenta que la fuente está en un marco S ^s y la Tierra está en el marco de observación, S ^obs . Aplicación de la transformación de Lorentz al vector de onda

${\displaystyle k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }}$

y elegir simplemente mirar el componente da como resultado ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}}$

¿Dónde está el coseno director de con respecto a? ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle k^{1}}$ ${\displaystyle k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .}$

Entonces

La fuente se aleja (corrimiento al rojo)

A modo de ejemplo, para aplicar esto a una situación en la que la fuente se aleja directamente del observador ( ), esto se convierte en: ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}$

Fuente moviéndose hacia (desplazamiento al azul)

Para aplicar esto a una situación donde la fuente se mueve directamente hacia el observador ( θ = 0 ), esto se convierte en:

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}}$

Fuente que se mueve tangencialmente (efecto Doppler transversal)

Para aplicar esto a una situación donde la fuente se mueve transversalmente con respecto al observador ( θ = π /2 ), esto se convierte en:

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}}$

Véase también

• Expansión de onda plana
• Plano de incidencia

Referencias

1. En la mayoría de los contextos, tanto el radián como el ciclo (o período ) se tratan como la cantidad adimensional 1, lo que reduce esta constante a 2π.

1. Ejemplo de física: Harris, Benenson, Stöcker (2002). Manual de física. pág. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Ejemplo de cristalografía: Vaĭnshteĭn (1994). Cristalografía moderna. p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.
3. Vaĭnshteĭn, Boris Konstantinovich (1994). Cristalografía moderna. pag. 259.ISBN​ 978-3-540-56558-1.
4. Fowles, Grant (1968). Introducción a la óptica moderna . Holt, Rinehart y Winston. pág. 177.
5. "Este efecto ha sido explicado por Musgrave (1959) quien ha demostrado que la energía de una onda elástica en un medio anisotrópico no viajará, en general, a lo largo del mismo camino que la normal al frente de onda plano...", Ondas sonoras en sólidos de Pollard, 1977. enlace
6. Donald H. Menzel (1960). "§10.5 Onda de Bloch". Fórmulas fundamentales de la física, volumen 2 (reimpresión de Prentice-Hall 1955 2.ª ed.). Courier-Dover. pág. 624. ISBN 978-0486605968.
7. Wolfgang Rindler (1991). "§24 Movimiento ondulatorio". Introducción a la relatividad especial (2.ª ed.). Oxford Science Publications. págs. 60-65. ISBN 978-0-19-853952-0.

Lectura adicional

• Brau, Charles A. (2004). Problemas modernos en electrodinámica clásica . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514665-3.