Cociente (álgebra universal)

Resultado de dividir los elementos de una estructura algebraica usando una relación de congruencia

En matemáticas , un álgebra de cocientes es el resultado de dividir los elementos de una estructura algebraica utilizando una relación de congruencia . Las álgebras de cocientes también se denominan álgebras de factores . Aquí, la relación de congruencia debe ser una relación de equivalencia que además sea compatible con todas las operaciones del álgebra, en el sentido formal que se describe a continuación. Sus clases de equivalencia dividen los elementos de la estructura algebraica dada. El álgebra de cocientes tiene estas clases como elementos y las condiciones de compatibilidad se utilizan para dar a las clases una estructura algebraica. ^[1]

La idea del álgebra cociente abstrae en una noción común la estructura cociente de los anillos cocientes de la teoría de anillos , los grupos cocientes de la teoría de grupos , los espacios cocientes del álgebra lineal y los módulos cocientes de la teoría de la representación en un marco común.

relación compatible

Sea A el conjunto de los elementos de un álgebra y sea E una relación de equivalencia en el conjunto A. Se dice que la relación E es compatible con (o tiene la propiedad de sustitución con respecto a) una operación n -aria f , si for implica for any with . Una relación de equivalencia compatible con todas las operaciones de un álgebra se llama congruencia respecto de esta álgebra. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (a_{i},\;b_{i})\in E}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle (f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),f(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}))\in E}$ ${\displaystyle a_{i},\;b_{i}\in A}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

Álgebras de cocientes y homomorfismos

Cualquier relación de equivalencia E en un conjunto A divide este conjunto en clases de equivalencia . El conjunto de estas clases de equivalencia suele denominarse conjunto cociente y se denota A / E . Para un álgebra , es sencillo definir las operaciones inducidas sobre los elementos de A / E si E es una congruencia. Específicamente, para cualquier operación de aridad en (donde el superíndice simplemente indica que es una operación en y el subíndice enumera las funciones en y sus aridades) defina como , donde denota la clase de equivalencia de generada por E (" x  módulo  E " ). ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f_{i}^{\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}:(A/E)^{n_{i}}\to A/E}$ ${\displaystyle f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}([a_{1}]_{E},\ldots ,[a_{n_{i}}]_{E})=[f_{i}^{\mathcal {A}}(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})]_{E}}$ ${\displaystyle [x]_{E}\in A/E}$ ${\displaystyle x\in A}$

Para un álgebra , dada una congruencia E en , el álgebra se llama álgebra de cocientes (o álgebra de factores ) de módulo E. Existe un homomorfismo natural desde hasta asignar cada elemento a su clase de equivalencia. De hecho, cada homomorfismo h determina una relación de congruencia a través del núcleo del homomorfismo . ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,(f_{i}^{\mathcal {A}})_{i\in I})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/E=(A/E,(f_{i}^{{\mathcal {A}}/E})_{i\in I})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/E}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h=\{(a,a')\in A^{2}\,|\,h(a)=h(a')\}\subseteq A^{2}}$

Dada un álgebra , un homomorfismo h define así dos álgebras homomórficas , la imagen h( ) y Las dos son isomorfas , resultado conocido como teorema de la imagen homomórfica o como primer teorema de isomorfismo para el álgebra universal. Formalmente, sea un homomorfismo sobreyectivo . Entonces, existe un isomorfismo único g de sobre tal que g compuesto con el homomorfismo natural inducido por iguales h . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$ ${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h}$

Red de congruencia

Para cada álgebra en el conjunto A , la relación de identidad en A, y son congruencias triviales. Un álgebra que no tiene otras congruencias se llama simple . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\times A}$

Sea el conjunto de congruencias en el álgebra . Debido a que las congruencias están cerradas bajo la intersección, podemos definir una operación de encuentro : simplemente tomando la intersección de las congruencias . ${\displaystyle \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \wedge :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle E_{1}\wedge E_{2}=E_{1}\cap E_{2}}$

Por otra parte, las congruencias no están cerradas bajo la unión. Sin embargo, podemos definir la clausura de cualquier relación binaria E , respecto de un álgebra fija , de manera que sea una congruencia, de la siguiente manera: . Tenga en cuenta que el cierre de una relación binaria es una congruencia y, por tanto, depende de las operaciones en , no sólo del conjunto de portadores. Ahora defina como . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \langle E\rangle _{\mathcal {A}}=\bigcap \{F\in \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\mid E\subseteq F\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \vee :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle E_{1}\vee E_{2}=\langle E_{1}\cup E_{2}\rangle _{\mathcal {A}}}$

Para cada álgebra , con las dos operaciones definidas anteriormente se forma una red , llamada red de congruencia de . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (\mathrm {Con} ({\mathcal {A}}),\wedge ,\vee )}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Condiciones de Maltsev

Si dos congruencias se permutan (conmutan) con la composición de relaciones como operación, es decir , entonces su unión (en la red de congruencias) es igual a su composición: . Un álgebra se llama congruencia permutable si cada par de sus congruencias permuta; Asimismo, se dice que una variedad es permutable por congruencia si todos sus miembros son álgebras permutables por congruencia. ${\displaystyle \alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \circ \beta =\alpha \vee \beta }$

En 1954, Anatoly Maltsev estableció la siguiente caracterización de las variedades permutables por congruencia: una variedad es permutable por congruencia si y sólo si existe un término ternario q ( x , y , z ) tal que q ( x , y , y ) ≈ x ≈ q ( ​​y , y , x ) ; esto se denomina término Maltsev y las variedades con esta propiedad se denominan variedades Maltsev. La caracterización de Maltsev explica una gran cantidad de resultados similares en grupos (tomar q = xy ⁻¹ z ), anillos, cuasigrupos (tomar q = (x / (y \ y))(y \ z)) , redes complementadas , álgebras de Heyting , etc. Además, cada álgebra permutable por congruencia es modular por congruencia, es decir, su red de congruencias también es una red modular ; Sin embargo, lo contrario no es cierto.

Tras el resultado de Maltsev, otros investigadores encontraron caracterizaciones basadas en condiciones similares a las encontradas por Maltsev pero para otro tipo de propiedades. En 1967, Bjarni Jónsson encontró las condiciones para variedades que tienen redes de congruencia distributivas ^[2] (llamadas así variedades congruentes-distributivas), mientras que en 1969 Alan Day hizo lo mismo para variedades que tienen redes de congruencia que son modulares. ^[3] Genéricamente, estas condiciones se denominan condiciones de Maltsev.

Esta línea de investigación condujo al algoritmo Pixley-Wille para generar condiciones de Maltsev asociadas con identidades de congruencia. ^[4]

Ver también

• anillo cociente
• Problema de red de congruencia
• Celosía de subgrupos

Notas

1. AG Kurosh, Lectures on General Algebra, traducido de la edición rusa (Moscú, 1960), Chelsea, Nueva York, 1963.
2. Jonnson, Bjarni (1967). "Álgebras cuyas celosías de congruencia son distributivas". Mathematica Scandinavica . 21 : 110. doi : 10.7146/math.scand.a-10850 .
3. Día, Alan (1969). "Una caracterización de la modularidad para celosías de congruencia de álgebras". Boletín de Matemáticas Canadiense . 12 (2): 167-173. doi : 10.4153/CMB-1969-016-6 . S2CID  120602601.
4. Keith Kearnes; Emil W. Beso (2013). La forma de las redes de congruencia . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 4.ISBN​ 978-0-8218-8323-5.

Referencias

• Klaus Denecke; Shelly L. Wismath (2009). Álgebra universal y coalgebra. Científico mundial. págs. 14-17. ISBN 978-981-283-745-5.
• Purna Chandra Biswal (2005). Matemáticas discretas y teoría de grafos. PHI Aprendizaje Pvt. Limitado. Ltd. pág. 215.ISBN​ 978-81-203-2721-4.
• Clifford Bergman (2011). Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados . Prensa CRC. págs. 122-124, 137 (variedades Maltsev). ISBN 978-1-4398-5129-6.