Álgebra permutable por congruencia

En álgebra universal , un álgebra permutable por congruencia es un álgebra cuyas congruencias conmutan bajo composición . Esta simetría tiene varias caracterizaciones equivalentes, que favorecen el análisis de tales álgebras. Muchas variedades familiares de álgebras , como la variedad de grupos , consisten en álgebras permutables por congruencia, pero algunas, como la variedad de redes , tienen miembros que no son permutables por congruencia.

Definición

Dada un álgebra , se dice que un par de congruencias se permutan cuando . ^{[1] : 121} Un álgebra se llama congruencia-permutable cuando cada par de congruencias de permuta. ^{[1] : 122} Una variedad de álgebras se denomina permutable por congruencia cuando cada álgebra es permutable por congruencia. ^{[1] : 122} ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \operatorname {Con} (\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle \alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Propiedades

En 1954, Maltsev dio otras dos condiciones que son equivalentes a la dada anteriormente que define una variedad de álgebras permutable por congruencia. Esto inició el estudio de variedades permutables por congruencia. ^{[1] : 122}

Teorema (Maltsev, 1954)

Supongamos que se trata de una variedad de álgebras. Son equivalentes los siguientes: ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

1. La variedad es permutable por congruencia. ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$
2. El álgebra libre de los generadores es permutable por congruencia. ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$
3. Existe un término ternario tal que ${\displaystyle q}$

   ${\displaystyle {\mathcal {V}}\models q(x,y,y)\approx x\approx q(y,y,x)}$.

Tal término se llama término de Maltsev y las variedades permutables por congruencia también se conocen como variedades de Maltsev en su honor. ^{[1] : 122}

Ejemplos

La mayoría de las variedades clásicas del álgebra abstracta , como los grupos ^{[1] : 123} , los anillos ^{[1] : 123} y las álgebras de Lie ^{[ cita requerida ]} son ​​permutables por congruencia. Cualquier variedad que contenga una operación de grupo es permutable por congruencia y el término de Maltsev es . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle xy^{-1}z}$

No ejemplos

Vista como una red, la cadena con tres elementos no es permutable por congruencia y, por lo tanto, tampoco lo es la variedad de redes. ^{[1] : 123}

Referencias

1. Bergman, Clifford (2011). Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados . Chapman y Hall/CRC. ISBN 978-1-4398-5129-6.