El teorema se puede aplicar a un cuadrilátero complejo (autointersecante).
En geometría plana , el teorema de Van Aubel describe una relación entre cuadrados construidos en los lados de un cuadrilátero . Partiendo de un cuadrilátero convexo dado, se construye un cuadrado , externo al cuadrilátero, en cada lado. El teorema de Van Aubel establece que los dos segmentos de línea entre los centros de cuadrados opuestos tienen longitudes iguales y forman ángulos rectos entre sí. Otra forma de decir lo mismo es que los puntos centrales de los cuatro cuadrados forman los vértices de un cuadrilátero ortodiagonal equidiagonal . El teorema recibe su nombre del matemático belga Henricus Hubertus (Henri) Van Aubel (1830-1906), quien lo publicó en 1878. [1]
El teorema es válido también para cuadriláteros reentrantes [2] y cuando los cuadrados se construyen internamente al cuadrilátero dado [3] . Para cuadriláteros complejos (autointersecantes), las construcciones internas y externas de los cuadrados no son definibles. En este caso, el teorema es válido cuando las construcciones se llevan a cabo de la manera más general: [3]
sigue los vértices del cuadrilátero en una dirección secuencial y construye cada cuadrado en el lado derecho de cada lado del cuadrilátero dado.
Siga los vértices del cuadrilátero en la misma dirección secuencial y construya cada cuadrado en el lado izquierdo de cada lado del cuadrilátero dado.
Los segmentos que unen los centros de los cuadrados construidos externamente (o internamente) al cuadrilátero sobre dos lados opuestos se han denominado segmentos de Van Aubel . Los puntos de intersección de dos segmentos de Van Aubel iguales y ortogonales (producidos cuando es necesario) se han denominado puntos de Van Aubel : [3] primer punto de Van Aubel o externo para la construcción externa, segundo punto de Van Aubel o interno para la interna.
La configuración del teorema de Van Aubel presenta algunas características relevantes, entre otras:
Los puntos de Van Aubel son los centros de los dos cuadrados circunscritos del cuadrilátero. [4]
Los puntos de Van Aubel, los puntos medios de las diagonales cuadriláteras y los puntos medios de los segmentos de Van Aubel son concíclicos. [3]
Se han publicado en The Mathematical Gazette algunas extensiones del teorema, considerando rectángulos semejantes, rombos semejantes y paralelogramos semejantes construidos sobre los lados del cuadrilátero dado. [ 5] [6]
^ Van Aubel, H. (1878), "Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d'un polygon quelconque", Nouvelle Correspondance Mathématique (en francés), 4 : 40–44.
^ Coxeter, HSM y Greitzer, Samuel L. 1967. Geometry Revisited , páginas 52.
^ abcd D. Pellegrinetti: "El círculo de seis puntos para el cuadrángulo". International Journal of Geometry , vol. 8 (octubre de 2019), n.º 2, págs. 5-13.
^ Ch. van Tienhoven, D. Pellegrinetti: "Geometría del cuadrigono: cuadrados circunscritos y puntos de Van Aubel". Journal for Geometry and Graphics , vol. 25 (julio de 2021), n.º 1, págs. 53–59.
^ M. de Villiers: "Generalizaciones duales del teorema de Van Aubel". The Mathematical Gazette , vol. 82 (noviembre de 1998), págs. 405-412.
^ JR Silvester: "Extensiones de un teorema de Van Aubel". The Mathematical Gazette , vol. 90 (marzo de 2006), págs. 2-12.
Enlaces externos
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