Teorema de Bottema

Teorema sobre el punto medio de una línea que une cuadrados en dos lados de un triángulo

Construcción del teorema de Bottema; cambiar la ubicación del vértice cambia las ubicaciones de los vértices pero no cambia la ubicación de su punto medio ${\textstyle C}$ ${\textstyle E}$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle M}$

El teorema de Bottema es un teorema de geometría plana del matemático holandés Oene Bottema ( Groningen , 1901-1992). ^[1]

El teorema puede enunciarse de la siguiente manera: en cualquier triángulo dado , se construyen cuadrados en dos lados adyacentes cualesquiera, por ejemplo y . El punto medio del segmento de línea que conecta los vértices de los cuadrados opuestos al vértice común, , de los dos lados del triángulo es independiente de la ubicación de . ^[2] ${\textstyle ABC}$ ${\textstyle AC}$ ${\textstyle BC}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle C}$

El teorema es verdadero cuando los cuadrados se construyen de una de las siguientes maneras:

• Mirando la figura, comenzando desde el vértice inferior izquierdo, sigue los vértices del triángulo en el sentido de las agujas del reloj y construye los cuadrados a la izquierda de los lados del triángulo. ${\textstyle A}$
• Sigue el triángulo de la misma manera y construye los cuadrados a la derecha de los lados del triángulo.

Si es la proyección de sobre , entonces . ${\textstyle S}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle AB}$ ${\textstyle AS=BS=MS}$

Si los cuadrados se sustituyen por polígonos regulares del mismo tipo, se obtiene un teorema de Bottema generalizado: ^[3]

En cualquier triángulo dado, construya dos polígonos regulares en dos lados y . Tome los puntos y en las circunferencias circunscritas de los polígonos, que son diametralmente opuestos al vértice común . Entonces, el punto medio del segmento de línea es independiente de la ubicación de . ${\textstyle ABC}$ ${\textstyle AC}$ ${\textstyle BC}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\textstyle C}$ ${\displaystyle D_{1}D_{2}}$ ${\textstyle C}$

Véase también

• Teorema de Van Aubel
• Teorema de Napoleón

Referencias

1. Koetsier, T. (2007). "Oene Bottema (1901–1992)". En Ceccarelli, M. (ed.). Figuras distinguidas en la ciencia de los mecanismos y las máquinas . Historia de la ciencia de los mecanismos y las máquinas. Vol. 1. Dordrecht: Springer . págs. 61–68. doi :10.1007/978-1-4020-6366-4_3. ISBN 978-1-4020-6365-7.
2. Shriki, A. (2011), "De regreso a la Isla del Tesoro", The Mathematics Teacher , 104 (9): 658–664, JSTOR  20876991.
3. Meskhishvili, M. (2022), "Dos polígonos regulares con un vértice compartido", Communications in Mathematics and Applications , 13 (2): 435–447

Enlaces externos

• Teorema de Bottema: ¿Qué es?
• Proyecto de demostraciones de Wolfram: teorema de Bottema
• Proyecto de demostraciones de GeoGebra: un teorema generalizado: triángulos equiláteros
• Proyecto de demostraciones de GeoGebra: un teorema generalizado: pentágonos regulares