Flujo Taylor-Couette

Configuración de un sistema Taylor-Couette

En dinámica de fluidos , el flujo de Taylor-Couette consiste en un fluido viscoso confinado en el espacio entre dos cilindros giratorios. Para velocidades angulares bajas, medidas por el número de Reynolds Re , el flujo es estacionario y puramente azimutal . Este estado básico se conoce como flujo circular de Couette , en honor a Maurice Marie Alfred Couette , quien utilizó este dispositivo experimental como medio para medir la viscosidad . Sir Geoffrey Ingram Taylor investigó la estabilidad del flujo de Couette en un artículo innovador. ^[1] El artículo de Taylor se convirtió en una piedra angular en el desarrollo de la teoría de la estabilidad hidrodinámica y demostró que la condición de no deslizamiento , que estaba en disputa por la comunidad científica en ese momento, era la condición límite correcta para flujos viscosos en un límite sólido.

Taylor demostró que cuando la velocidad angular del cilindro interior aumenta por encima de un cierto umbral, el flujo de Couette se vuelve inestable y emerge un estado estacionario secundario caracterizado por vórtices toroidales axisimétricos, conocido como flujo de vórtice de Taylor . Posteriormente, al aumentar la velocidad angular del cilindro el sistema sufre una progresión de inestabilidades que conducen a estados de mayor complejidad espacio-temporal, denominándose el siguiente estado flujo de vórtice ondulado . Si los dos cilindros giran en sentido opuesto, se produce un flujo de vórtice en espiral . A partir de cierto número de Reynolds se produce la aparición de turbulencias .

El flujo circular Couette tiene amplias aplicaciones que van desde la desalinización hasta la magnetohidrodinámica y también en el análisis viscosimétrico. A lo largo de los años se han categorizado diferentes regímenes de flujo, incluidos los vórtices retorcidos de Taylor y los límites de flujo ondulados. Ha sido un flujo bien investigado y documentado en dinámica de fluidos. ^[2]

Descripción del flujo

Un flujo Taylor-Couette simple es un flujo constante creado entre dos cilindros coaxiales giratorios de longitud infinita. ^[3] Dado que las longitudes de los cilindros son infinitamente largas, el flujo es esencialmente unidireccional en estado estacionario. Si el cilindro interior con radio gira a velocidad angular constante y el cilindro exterior con radio gira a velocidad angular constante como se muestra en la figura, entonces el componente de velocidad azimutal viene dado por ^[4] ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$

${\displaystyle v_{\theta }=Ar+{\frac {B}{r}},\quad A=\Omega _{1}{\frac {\mu -\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}},\quad B=\Omega _{1}R_{1}^{2}{\frac {1-\mu }{1-\eta ^{2}}}}$

dónde

${\displaystyle \mu ={\frac {\Omega _{2}}{\Omega _{1}}},\quad \eta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}.}$

Criterio de Rayleigh [5]

Lord Rayleigh ^{[6] [7]} estudió la estabilidad del problema con suposiciones no viscosas, es decir, ecuaciones perturbadoras de Euler . El criterio establece que en ausencia de viscosidad la condición necesaria y suficiente para que la distribución de la velocidad azimutal sea estable es ${\displaystyle v_{\theta }(r)}$

${\displaystyle \Phi \equiv {\frac {1}{r^{3}}}{\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })^{2}\geq 0}$

en todas partes del intervalo; y, además, que la distribución es inestable si disminuyera en cualquier parte del intervalo. ${\displaystyle (rv_{\theta })^{2}}$ Dado que representa el momento angular por unidad de masa de un elemento fluido alrededor del eje de rotación, una forma alternativa de expresar el criterio es: una estratificación del momento angular alrededor de un eje es estable si y sólo si aumenta monótonamente hacia afuera. ${\displaystyle |rv_{\theta }|}$

La aplicación de este criterio al flujo de Taylor-Couette indica que el flujo es estable si , es decir, para lograr estabilidad, el cilindro exterior debe girar (en el mismo sentido) con una velocidad angular mayor que -veces la del cilindro interior. Se viola el criterio de Rayleigh ( ) en todo el fluido cuando . Por otro lado, cuando los cilindros giran en direcciones opuestas, es decir, cuando , el criterio de Rayleigh se viola sólo en la región interior, es decir, para donde . ${\displaystyle \mu >\eta ^{2}}$ ${\displaystyle \eta ^{2}}$ ${\displaystyle \Phi <0}$ ${\displaystyle 0<\mu <\eta ^{2}}$ ${\displaystyle \mu <0}$ ${\displaystyle \Phi (r)<0}$ ${\displaystyle \eta <r/R_{2}<\eta _{0}}$ ${\displaystyle \eta _{0}=\eta [(1+|\mu |)/(\eta ^{2}+|\mu |)]^{1/2}}$

criterio de taylor

En un trabajo fundamental, GI Taylor encontró el criterio de inestabilidad en presencia de fuerzas viscosas, tanto experimental como teóricamente. En general, se ha descubierto que las fuerzas viscosas posponen el inicio de la inestabilidad, predicha por el criterio de Rayleigh. La estabilidad se caracteriza por tres parámetros, a saber , y un número de Taylor. ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mathrm {Ta} ={\frac {4\Omega _{1}^{2}R_{1}^{4}}{\nu ^{2}}}{\frac {(1-\mu )(1-\mu /\eta ^{2})}{(1-\eta ^{2})^{2}}}.}$

El primer resultado se refiere a que el flujo es estable para , consistente con el criterio de Rayleigh. Sin embargo, también existen casos estables en cierto rango paramétrico para . ${\displaystyle \mu >\eta ^{2}}$ ${\displaystyle \mu <\eta ^{2}}$

Taylor obtuvo un criterio explícito para el espacio estrecho en el que el espacio anular es pequeño en comparación con el radio medio , o en otras palabras ,. Una mejor definición del número de Taylor en la aproximación de espacio fino es ${\displaystyle R_{2}-R_{1}}$ ${\displaystyle (R_{1}+R_{2})/2}$ ${\displaystyle 1-\eta \ll (1+\eta )/2\approx 1}$

${\displaystyle \mathrm {Ta} =-{\frac {2A\Omega _{1}R_{2}^{4}}{\nu ^{2}}}(1-\eta )^{4}(1+\mu ).}$

En términos de este número de Taylor, se encontró que la condición crítica para la rotación en el mismo sentido era

${\displaystyle \mathrm {Ta} _{c}=1708,\quad 0\leq \mu \leq 1.}$

Como , el número crítico de Taylor viene dado por ${\displaystyle \mu \rightarrow 1}$

${\displaystyle \mathrm {Ta} _{c}=1707.76\left[1-0.00761\left({\frac {1-\mu }{1+\mu }}\right)^{2}\right].}$

vórtice de taylor

Líneas de corriente que muestran los vórtices de Taylor-Couette en el plano radial-vertical, en Re = 950

Los vórtices de Taylor (también llamados así en honor a Sir Geoffrey Ingram Taylor ) son vórtices formados en un flujo giratorio de Taylor-Couette cuando el número de Taylor ( ) del flujo excede un valor crítico . ${\displaystyle \mathrm {Ta} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }$

Para flujo en el que

${\displaystyle \mathrm {Ta} <\mathrm {Ta_{c}} ,}$

no hay inestabilidades en el flujo, es decir, las perturbaciones del flujo son amortiguadas por fuerzas viscosas y el flujo es estable. Pero, a medida que se excede , aparecen inestabilidades axisimétricas. La naturaleza de estas inestabilidades es la de un intercambio de estabilidades (en lugar de una sobreestabilidad), y el resultado no es una turbulencia sino más bien un patrón de flujo secundario estable que emerge en el que se forman grandes vórtices toroidales en el flujo, apilados uno encima del otro. . Estos son los vórtices de Taylor. Si bien la mecánica de fluidos del flujo original es inestable cuando , el nuevo flujo, llamado flujo de Taylor-Couette , con los vórtices de Taylor presentes, es en realidad estable hasta que el flujo alcanza un número de Reynolds grande , momento en el cual el flujo pasa a ser inestable "ondulado". "flujo de vórtice", presumiblemente indicando la presencia de inestabilidades no axisimétricas. ${\displaystyle \mathrm {Ta} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ta} >\mathrm {Ta_{c}} }$

El problema matemático idealizado se plantea eligiendo un valor particular de , y . Como y desde abajo, el número de Taylor crítico es ^{[4] [8] [9] [10] [11]} ⁠⁠ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mathrm {Ta} }$ ${\displaystyle \eta \rightarrow 1}$ ${\displaystyle \mu \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} \simeq 1708}$

Experimento de Couette circular de Gollub-Swinney

En 1975, JP Gollub y HL Swinney publicaron un artículo sobre la aparición de turbulencias en fluidos en rotación. En un sistema de flujo Taylor-Couette, observaron que, a medida que aumenta la velocidad de rotación, el fluido se estratifica en una pila de "rosquillas de fluido". Con mayores aumentos en la velocidad de rotación, los donuts oscilan y se tuercen y finalmente se vuelven turbulentos. ^[12] Su estudio ayudó a establecer el escenario Ruelle-Takens en turbulencia, ^[13] que es una contribución importante de Floris Takens y David Ruelle hacia la comprensión de cómo los sistemas hidrodinámicos pasan de patrones de flujo estables a turbulentos. Si bien el factor principal que rige esta transición es el número de Reynolds , existen otros factores que influyen importantes: si el flujo está abierto (lo que significa que hay un flujo lateral hacia arriba y hacia abajo) o cerrado (el flujo está limitado lateralmente; por ejemplo, girando), y delimitado (influido por efectos de muro) o ilimitado (no influenciado por efectos de muro). Según esta clasificación, el flujo de Taylor-Couette es un ejemplo de un patrón de flujo que se forma en un sistema de flujo cerrado y acotado.

Referencias

1. Taylor, Geoffrey I. (1923). "Estabilidad de un líquido viscoso contenido entre dos cilindros giratorios". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico. 223 (605–615): 289–343. Código Bib : 1923RSPTA.223..289T. doi : 10.1098/rsta.1923.0008 . JSTOR  91148.
2. Andereck, CD; Liu, SS; Swinney, HL (1986). "Regimenes de flujo en un sistema Couette circular con cilindros giratorios independientes". Revista de mecánica de fluidos . 164 : 155–183. Código bibliográfico : 1986JFM...164..155A. doi :10.1017/S0022112086002513. S2CID  122768769.
3. Drazin, Philip G .; Reid, William Hill (2004). Estabilidad Hidrodinámica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-52541-1.
4. Davey (1962). "El crecimiento de los vórtices de Taylor en el flujo entre cilindros giratorios". Revista de mecánica de fluidos . 14 (3): 336–368. doi :10.1017/S0022112062001287. S2CID  122884625.
5. Chandrasekhar, Subrahmanyan. Estabilidad hidrodinámica e hidromagnética. Corporación de mensajería, 2013.
6. Rayleigh, Señor. "Sobre la estabilidad o inestabilidad de ciertos movimientos de fluidos. Scientific Papers, 3." (1880): 594-596.
7. Rayleigh, Señor. "Sobre la dinámica de los fluidos en rotación". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter físico y matemático 93.648 (1917): 148-154.
8. Weisberg, AY; Kevrekidis, IG ; Smits, AJ (1997). "Retrasar la transición en el flujo de Taylor-Couette con movimiento axial del cilindro interior". Revista de mecánica de fluidos . 348 : 141-151. doi :10.1017/S0022112097006630. S2CID  49329964.
9. Takeda, Y. (1999). "Estado cuasi periódico y transición a la turbulencia en un sistema Couette giratorio". Revista de mecánica de fluidos . 389 (1): 81–99. Código Bib : 1999JFM...389...81T. doi :10.1017/S0022112099005091. S2CID  4842053.
10. Wereley, ST; Lueptow, RM (1999). "Campo de velocidad para flujo de Taylor-Couette con flujo axial". Física de Fluidos . 11 (12): 3637–3649. Código bibliográfico : 1999PhFl...11.3637W. doi : 10.1063/1.870228.
11. Marqués, F.; López, JM; Shen, J. (2001). "Un flujo periódicamente forzado que muestra simetría rompiéndose a través de una bifurcación de pegado de tres tori y resonancias de dos tori". Physica D: Fenómenos no lineales . 156 (1–2): 81–97. Código bibliográfico : 2001PhyD..156...81M. CiteSeerX 10.1.1.23.8712 . doi :10.1016/S0167-2789(01)00261-5. 
12. Gollub, JP; Swinney, HL (1975). "Inicio de turbulencia en un fluido en rotación". Cartas de revisión física . 35 (14): 927–930. Código bibliográfico : 1975PhRvL..35..927G. doi :10.1103/PhysRevLett.35.927.
13. Guckenheimer, Juan (1983). "Atractores extraños en dinámica de fluidos". Sistema Dinámico y Caos . Apuntes de conferencias de física. vol. 179. Springer Berlín. págs. 149-156. doi :10.1007/3-540-12276-1_10. ISBN 978-3-540-12276-0.

Otras lecturas

• Chossat, P.; Iooss, G. (1992). El problema de Couette-Taylor . Ciencias Matemáticas Aplicadas. vol. 102. Saltador. doi :10.1007/978-1-4612-4300-7. ISBN 978-0387941547.
• Koschmieder, EL (1993). Células de Bénard y vórtices de Taylor . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-40204-0.