Campo vectorial Beltrami

En cálculo vectorial , un campo vectorial de Beltrami , llamado así en honor a Eugenio Beltrami , es un campo vectorial en tres dimensiones que es paralelo a su propio rizo . Es decir, F es un campo vectorial de Beltrami siempre que

$${\displaystyle \mathbf {F} \times (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$$

Por tanto , y son vectores paralelos, en otras palabras, . ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\lambda \mathbf {F} }$

Si es solenoidal, es decir, si, por ejemplo, para un fluido incompresible o un campo magnético, la identidad se vuelve y esto conduce a ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F} }$

$${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla \times (\lambda \mathbf {F} )}$$

${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =-\lambda ^{2}\mathbf {F} .}$$

Los campos vectoriales de Beltrami con curvatura distinta de cero corresponden a formas de contacto euclidianas en tres dimensiones.

El campo vectorial

$${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {z}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {1}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {j} }$$

z ij

Campos Beltrami y mecánica de fluidos.

Los campos de Beltrami con un factor de proporcionalidad constante son una categoría distinta de campos vectoriales que actúan como funciones propias del operador curl. En esencia, son funciones que mapean puntos en un espacio tridimensional, ya sea en (espacio euclidiano) o en un toro plano , a otros puntos en el mismo espacio. Matemáticamente, esto se puede representar como: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$(para el espacio euclidiano) o (para el toro plano). ${\displaystyle u:\mathbb {T} ^{3}\to \mathbb {T} ^{3}}$

Estos campos vectoriales son únicos debido a la relación especial entre la curvatura del campo vectorial y el campo mismo. Esta relación se puede expresar mediante la siguiente ecuación: ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \nabla \times u=\lambda u}$

En esta ecuación, es una constante distinta de cero, lo que indica que la curvatura del campo vectorial es proporcional al campo mismo. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle u}$

Los campos de Beltrami son relevantes en dinámica de fluidos, ya que ofrecen una familia clásica de soluciones estacionarias a la ecuación de Euler en tres dimensiones. ^[1] Las ecuaciones de Euler describen el movimiento de un fluido ideal e incompresible y pueden escribirse como un sistema de dos ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}+(u\cdot \nabla )u=-\nabla p,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}}$Para flujos estacionarios, donde el campo de velocidades no cambia con el tiempo, es decir , podemos introducir la función de Bernoulli , y la vorticidad . Estas nuevas variables simplifican las ecuaciones de Euler en el siguiente sistema: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$ ${\displaystyle B:=p+{\frac {1}{2}}\lVert u\rVert ^{2}}$ ${\displaystyle \omega :=\nabla \times u}$

${\displaystyle {\begin{cases}u\times \omega =\nabla B,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}}$La simplificación es posible debido a una identidad vectorial , que relaciona el término convectivo con el gradiente de la energía cinética y el producto cruzado del campo de velocidades y su curvatura: ${\displaystyle (u\cdot \nabla )u}$

${\displaystyle (u\cdot \nabla )u={\frac {1}{2}}\nabla \lVert u\rVert ^{2}-u\times (\nabla \times u)}$

Cuando la función de Bernoulli es constante, los campos de Beltrami se convierten en soluciones válidas de las ecuaciones simplificadas de Euler. Tenga en cuenta que no necesitamos que el factor de proporcionalidad sea constante para que la prueba funcione. ${\displaystyle B}$

Campos de Beltrami y complejidad en mecánica de fluidos.

Los campos de Beltrami tienen una estrecha conexión con la turbulencia lagrangiana, como lo demuestra el trabajo de VI Arnold sobre flujos estacionarios de Euler. ^{[2] [3]}

La "conjetura" de Arnold

La cita de Arnold de su trabajo antes mencionado destaca la probable topología complicada de las líneas de corriente en los campos de Beltrami, estableciendo paralelos con la mecánica celeste:

Es probable que los écoulements tels se pudran en las líneas de corriente de la topología complicada. De telles complicaciones interviennent en mécanique céleste. La topología de las líneas de corriente de los flujos estacionarios de fluidos viscosos puede parecerse a una celda de mecánica celeste. ${\displaystyle \nu =\lambda \nu }$ ${\displaystyle \lambda =Cte}$

Soluciones propuestas

Un artículo reciente ^[4] demuestra que los campos Beltrami exhiben regiones caóticas y toros invariantes de topologías complejas con alta probabilidad. El análisis incluye límites asintóticos para el número de herraduras , ceros y toros invariantes anudados, junto con trayectorias periódicas en campos aleatorios gaussianos de Beltrami.

Ver también

• flujo de Beltrami
• Campo vectorial laminar complejo
• Campo vectorial conservador

Bibliografía

• Aris, Rutherford (1989), Vectores, tensores y ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos , Dover, ISBN 0-486-66110-5
• Lakhtakia, Akhlesh (1994), Campos Beltrami en medios quirales , World Scientific, ISBN 981-02-1403-0
• Etnyre, J.; Ghrist, R. (2000), "Topología de contacto e hidrodinámica. I. Campos de Beltrami y la conjetura de Seifert", No linealidad , 13 (2): 441–448, Bibcode :2000Nonli..13..441E, doi :10.1088/0951 -7715/13/2/306.

Referencias

1. Métodos topológicos en hidrodinámica. doi :10.1007/978-3-030-74278-2.
2. Arnold, Vladimir (1966). "Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses apps à l'hydrodynamique des fluides parfaits". Anales del Instituto Fourier . 16 (1): 319–361. doi : 10.5802/aif.233 . ISSN  1777-5310.
3. Arnold, Vladimir I. (2014), Arnold, Vladimir I.; Givental, Alejandro B.; Khesin, Boris A.; Varchenko, Alexander N. (eds.), "Sur la topologie des écoulements stationnaires des fluides parfaits", Vladimir I. Arnold - Obras completas: hidrodinámica, teoría de la bifurcación y geometría algebraica 1965-1972 , Berlín, Heidelberg: Springer, págs. 15–18, doi :10.1007/978-3-642-31031-7_3, ISBN 978-3-642-31031-7, consultado el 1 de mayo de 2023
4. Enciso, Alberto; Peralta-Salas, Daniel; Romaniega, Álvaro (2023). "Los campos de Beltrami exhiben nudos y caos casi con seguridad". Foro de Matemáticas, Sigma . 11 . arXiv : 2006.15033 . doi : 10.1017/fms.2023.52 . ISSN  2050-5094.