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Vía del tren (matemáticas)

Una vía de tren sobre un triple toro .

En el área matemática de la topología , una vía de tren es una familia de curvas embebidas en una superficie , cumpliendo las siguientes condiciones:

  1. Las curvas se encuentran en un conjunto finito de vértices llamados interruptores .
  2. Lejos de los interruptores, las curvas son suaves y no se tocan entre sí.
  3. En cada cambio, tres curvas se encuentran con la misma línea tangente, con dos curvas entrando desde una dirección y una desde la otra.

La principal aplicación de las vías de tren en matemáticas es el estudio de las laminaciones de superficies, es decir, particiones de subconjuntos cerrados de superficies en uniones de curvas suaves. Las vías de tren también se han utilizado en el dibujo de grafos .

Vías de tren y laminaciones

Un cambio de vía en una vía de tren, y la porción correspondiente de una laminación.

Una laminación de una superficie es una partición de un subconjunto cerrado de la superficie en curvas suaves. El estudio de las vías del tren se originó a partir de la siguiente observación: si una persona miope observa desde lejos una laminación genérica de una superficie, parecerá una vía de tren.

Un cambio de vía en una vía de tren modela un punto en el que dos familias de curvas paralelas en la laminación se fusionan para convertirse en una sola familia, como se muestra en la ilustración. Aunque el cambio de vía consta de tres curvas que terminan y se cortan en un único punto, las curvas en la laminación no tienen puntos finales y no se cortan entre sí.

Para esta aplicación de vías de tren a laminaciones, a menudo es importante limitar las formas que pueden formarse mediante componentes conectados de la superficie entre las curvas de la vía. Por ejemplo, Penner y Harer requieren que cada uno de estos componentes, cuando se pega a una copia de sí mismo a lo largo de su límite para formar una superficie lisa con cúspides, tenga una característica de Euler con cúspides negativas .

Una vía de tren con pesos , o vía de tren ponderada o vía de tren medida , consiste en una vía de tren con un número real no negativo , llamado peso , asignado a cada rama. Los pesos se pueden usar para modelar cuáles de las curvas en una familia paralela de curvas de una laminación se dividen en qué lados del cambio. Los pesos deben satisfacer la siguiente condición de cambio : el peso asignado a la rama entrante en un cambio debe ser igual a la suma de los pesos asignados a las ramas salientes de ese cambio. Los pesos están estrechamente relacionados con la noción de transporte . Se dice que una vía de tren transporta una laminación si hay un vecindario de vía de tren tal que cada hoja de la laminación está contenida en el vecindario e interseca cada fibra vertical transversalmente. Si cada fibra vertical tiene una intersección no trivial con alguna hoja, entonces la vía del tren transporta completamente la laminación.

Referencias