Solenoide

Tipo de electroimán formado por una bobina de alambre.

Una ilustración de un solenoide

Campo magnético creado por un solenoide de siete bucles (vista en sección transversal) descrito mediante líneas de campo

Demostración de campo magnético con alambre aislado en forma de solenoide y limaduras de hierro

Un solenoide ( / ˈs oʊl ən ɔɪ d / ^[1] ) es un tipo de electroimán formado por una bobina helicoidal de alambre cuya longitud es sustancialmente mayor que su diámetro, ^{[2] que} genera un campo magnético controlado . La bobina puede producir un campo magnético uniforme en un volumen de espacio cuando pasa una corriente eléctrica a través de ella.

André-Marie Ampère acuñó el término solenoide en 1823, habiendo concebido el dispositivo en 1820. ^[3] El término francés creado originalmente por Ampère es solénoïde , que es una transliteración francesa de la palabra griega σωληνοειδὴς que significa tubular .

La bobina helicoidal de un solenoide no necesariamente necesita girar alrededor de un eje recto ; por ejemplo, el electroimán de William Sturgeon de 1824 consistía en un solenoide doblado en forma de herradura (de manera similar a un resorte de arco ).

Los solenoides permiten el enfoque magnético de los electrones en el vacío, especialmente en los tubos de las cámaras de televisión, como los vidicones y los orticones de imagen. Los electrones siguen trayectorias helicoidales dentro del campo magnético. Estos solenoides, bobinas de enfoque, rodean casi toda la longitud del tubo.

Física

Solenoide continuo infinito

Figura 1: Un solenoide infinito con tres bucles amperianos arbitrarios denominados a , b y c . La integración sobre la trayectoria c demuestra que el campo magnético dentro del solenoide debe ser radialmente uniforme.

Un solenoide infinito tiene una longitud infinita pero un diámetro finito. "Continuo" significa que el solenoide no está formado por bobinas discretas de ancho finito sino por muchas bobinas infinitamente delgadas sin espacio entre ellas; en esta abstracción, el solenoide se considera a menudo como una lámina cilíndrica de material conductor.

El campo magnético dentro de un solenoide infinitamente largo es homogéneo y su intensidad no depende de la distancia desde el eje ni del área de la sección transversal del solenoide.

Esta es una derivación de la densidad de flujo magnético alrededor de un solenoide que es lo suficientemente largo como para que los efectos de borde puedan ignorarse. En la Figura 1, sabemos inmediatamente que el vector de densidad de flujo apunta en la dirección z positiva dentro del solenoide, y en la dirección z negativa fuera del solenoide. Confirmamos esto aplicando la regla de agarre de la mano derecha para el campo alrededor de un cable. Si envolvemos nuestra mano derecha alrededor de un cable con el pulgar apuntando en la dirección de la corriente, la curvatura de los dedos muestra cómo se comporta el campo. Como estamos tratando con un solenoide largo, todos los componentes del campo magnético que no apuntan hacia arriba se cancelan por simetría. Afuera, ocurre una cancelación similar y el campo solo apunta hacia abajo.

Ahora, consideremos el bucle imaginario c que se encuentra dentro del solenoide. Por la ley de Ampère , sabemos que la integral de línea de B (el vector de densidad de flujo magnético) alrededor de este bucle es cero, ya que no encierra corrientes eléctricas (también se puede suponer que el campo eléctrico circuital que pasa a través del bucle es constante en tales condiciones: una corriente constante o que cambia constantemente a través del solenoide). Hemos demostrado anteriormente que el campo apunta hacia arriba dentro del solenoide, por lo que las partes horizontales del bucle c no contribuyen en nada a la integral. Por lo tanto, la integral del lado superior 1 es igual a la integral del lado inferior 2. Como podemos cambiar arbitrariamente las dimensiones del bucle y obtener el mismo resultado, la única explicación física es que los integrandos son en realidad iguales, es decir, el campo magnético dentro del solenoide es radialmente uniforme. Sin embargo, tenga en cuenta que nada le prohíbe variar longitudinalmente, lo que de hecho ocurre.

Un argumento similar se puede aplicar al bucle a para concluir que el campo fuera del solenoide es radialmente uniforme o constante. Este último resultado, que es estrictamente cierto solo cerca del centro del solenoide donde las líneas de campo son paralelas a su longitud, es importante ya que muestra que la densidad de flujo en el exterior es prácticamente cero ya que los radios del campo fuera del solenoide tenderán al infinito. También se puede utilizar un argumento intuitivo para mostrar que la densidad de flujo fuera del solenoide es en realidad cero. Las líneas de campo magnético solo existen como bucles, no pueden divergir de un punto o converger hacia él como pueden hacerlo las líneas de campo eléctrico (véase la ley de Gauss para el magnetismo ). Las líneas de campo magnético siguen la trayectoria longitudinal del solenoide en el interior, por lo que deben ir en la dirección opuesta fuera del solenoide para que las líneas puedan formar bucles. Sin embargo, el volumen fuera del solenoide es mucho mayor que el volumen en el interior, por lo que la densidad de líneas de campo magnético en el exterior se reduce en gran medida. Ahora recuerde que el campo en el exterior es constante. Para que se conserve el número total de líneas de campo, el campo en el exterior debe llegar a cero a medida que el solenoide se alarga. Por supuesto, si el solenoide está construido como una espiral de alambre (como se hace a menudo en la práctica), entonces emana un campo externo de la misma manera que un solo alambre, debido a la corriente que fluye a lo largo de todo el solenoide.

Cómo se puede aplicar la ley de Ampère al solenoide

Aplicando la ley circuital de Ampère al solenoide (ver figura a la derecha) obtenemos

${\displaystyle Bl=\mu _{0}NI,}$

donde es la densidad de flujo magnético , es la longitud del solenoide, es la constante magnética , el número de vueltas y la corriente. De esto obtenemos ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}}.}$

Esta ecuación es válida para un solenoide en el espacio libre, lo que significa que la permeabilidad del camino magnético es la misma que la permeabilidad del espacio libre, μ ₀ .

Si el solenoide se sumerge en un material con permeabilidad relativa μ _r , entonces el campo aumenta en esa cantidad:

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {r} }{\frac {NI}{l}}.}$

En la mayoría de los solenoides, el solenoide no está inmerso en un material de mayor permeabilidad, sino que una parte del espacio alrededor del solenoide tiene el material de mayor permeabilidad y otra parte es solo aire (que se comporta de manera muy similar al espacio libre). En ese escenario, no se observa el efecto completo del material de alta permeabilidad, pero habrá una permeabilidad efectiva (o aparente) μ _eff tal que 1 ≤  μ _eff  ≤  μ _r .

La inclusión de un núcleo ferromagnético , como el hierro , aumenta la magnitud de la densidad de flujo magnético en el solenoide y eleva la permeabilidad efectiva del camino magnético. Esto se expresa mediante la fórmula

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {eff} }{\frac {NI}{l}}=\mu {\frac {NI}{l}},}$

donde μ _eff es la permeabilidad efectiva o aparente del núcleo. La permeabilidad efectiva es una función de las propiedades geométricas del núcleo y su permeabilidad relativa. Los términos permeabilidad relativa (una propiedad exclusiva del material) y permeabilidad efectiva (una propiedad de toda la estructura) suelen confundirse; pueden diferir en muchos órdenes de magnitud.

Para una estructura magnética abierta, la relación entre la permeabilidad efectiva y la permeabilidad relativa se da de la siguiente manera:

${\displaystyle \mu _{\mathrm {eff} }={\frac {\mu _{r}}{1+k(\mu _{r}-1)}},}$

donde k es el factor de desmagnetización del núcleo. ^[4]

Solenoide continuo finito

Un solenoide finito es un solenoide con longitud finita. Continuo significa que el solenoide no está formado por bobinas discretas sino por una lámina de material conductor. Suponemos que la corriente se distribuye uniformemente sobre la superficie del solenoide, con una densidad de corriente superficial K ; en coordenadas cilíndricas : $${\displaystyle {\vec {K}}={\frac {I}{l}}{\hat {\phi }}.}$$

El campo magnético se puede encontrar utilizando el potencial vectorial , que para un solenoide finito con radio R y longitud l en coordenadas cilíndricas es ^{[5] [6]} ${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}$ $${\displaystyle A_{\phi }={\frac {\mu _{0}I}{\pi }}{\frac {R}{l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}\left({\frac {m+n-mn}{mn}}K(m)-{\frac {1}{m}}E(m)+{\frac {n-1}{n}}\Pi (n,m)\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},}$$

Líneas de campo magnético y densidad creadas por un solenoide con densidad de corriente superficial

Dónde:

• ${\displaystyle \zeta _{\pm }=z\pm {\frac {l}{2}}}$,
• ${\displaystyle n={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}}}}$,
• ${\displaystyle m={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}$,
• ${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$,
• ${\displaystyle E(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,d\theta }$,
• ${\displaystyle \Pi (n,m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}}$.

Aquí, , , y son integrales elípticas completas del primer, segundo y tercer tipo. ${\displaystyle K(m)}$ ${\displaystyle E(m)}$ ${\displaystyle \Pi (n,m)}$

Usando:

$${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},}$$

La densidad de flujo magnético se obtiene como ^{[7] [8] [9]} $${\displaystyle B_{\rho }={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {1}{l\,\rho }}\left[{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}{\biggl (}(m-2)K(m)+2E(m){\biggr )}\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},}$$ $${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}{\frac {1}{l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}\left(K(m)+{\frac {R-\rho }{R+\rho }}\Pi (n,m)\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}}.}$$

En el eje de simetría, el componente radial se desvanece y el componente de campo axial es Dentro del solenoide, lejos de los extremos ( ), este tiende hacia el valor constante . $${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}NI}{2}}\left({\frac {z+l/2}{l{\sqrt {R^{2}+(z+l/2)^{2}}}}}-{\frac {z-l/2}{l{\sqrt {R^{2}+(z-l/2)^{2}}}}}\right).}$$ ${\displaystyle l/2-|z|\gg R}$ ${\displaystyle B=\mu _{0}NI/l}$

Estimación de solenoide corto

Para el caso en que el radio es mucho mayor que la longitud del solenoide ( ), la densidad de flujo magnético a través del centro del solenoide (en la dirección z , paralela a la longitud del solenoide, donde la bobina está centrada en z = 0) se puede estimar como la densidad de flujo de un solo bucle conductor circular: ${\displaystyle R\gg l}$

${\displaystyle B_{z}\approx {\frac {\mu _{0}INR^{2}}{2{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

Solenoides irregulares

Ejemplos de solenoides irregulares (a) solenoide disperso, (b) solenoide de paso variado, (c) solenoide no cilíndrico

Dentro de la categoría de solenoides finitos, existen aquellos que están escasamente enrollados con un solo paso, aquellos que están escasamente enrollados con pasos variables (solenoide de paso variado), y aquellos con radios variables para diferentes bucles (solenoide no cilíndricos). Se denominan solenoides irregulares . Han encontrado aplicaciones en diferentes áreas, como solenoides escasamente enrollados para transferencia de energía inalámbrica , ^{[10] [11]} solenoides de paso variado para imágenes por resonancia magnética (MRI), ^[12] y solenoides no cilíndricos para otros dispositivos médicos. ^[13]

El cálculo de la inductancia y la capacitancia intrínsecas no se puede realizar utilizando los métodos de cálculo de los solenoides convencionales, es decir, los de bobinado apretado. Se propusieron nuevos métodos de cálculo para el cálculo de la inductancia intrínseca ^[14] (códigos disponibles en ^[15] ) y la capacitancia ^[16] (códigos disponibles en ^[17] ) .

Inductancia

Como se muestra arriba, la densidad de flujo magnético dentro de la bobina es prácticamente constante y está dada por ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}},}$

donde μ ₀ es la constante magnética , el número de vueltas, la corriente y la longitud de la bobina. Ignorando los efectos finales, el flujo magnético total a través de la bobina se obtiene multiplicando la densidad de flujo por el área de la sección transversal : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Phi =\mu _{0}{\frac {NIA}{l}}.}$

Combinando esto con la definición de inductancia

${\displaystyle L={\frac {N\Phi }{I}},}$

La inductancia de un solenoide se deduce como

${\displaystyle L=\mu _{0}{\frac {N^{2}A}{l}}.}$

Dellinger, Whittmore y Ould calcularon una tabla de inductancia para solenoides cortos con distintas relaciones de diámetro a longitud. ^[18]

Esto, y la inductancia de formas más complicadas, se pueden derivar de las ecuaciones de Maxwell . Para las bobinas rígidas con núcleo de aire, la inductancia es una función de la geometría de la bobina y del número de vueltas, y es independiente de la corriente.

Un análisis similar se aplica a un solenoide con un núcleo magnético, pero solo si la longitud de la bobina es mucho mayor que el producto de la permeabilidad relativa del núcleo magnético y el diámetro. Eso limita el análisis simple a núcleos de baja permeabilidad o solenoides extremadamente largos y delgados. La presencia de un núcleo se puede tener en cuenta en las ecuaciones anteriores reemplazando la constante magnética μ ₀ por μ o μ ₀ μ _r , donde μ representa la permeabilidad y μ _r la permeabilidad relativa . Tenga en cuenta que, dado que la permeabilidad de los materiales ferromagnéticos cambia con el flujo magnético aplicado, la inductancia de una bobina con un núcleo ferromagnético generalmente variará con la corriente.

Véase también

• Bobina de Helmholtz
• Inductor

Referencias

1. "solenoide: significado en el Cambridge English Dictionary". dictionary.cambridge.org . Archivado desde el original el 16 de enero de 2017 . Consultado el 16 de enero de 2017 .
2. o de manera equivalente, se supone que el diámetro de la bobina es infinitamente pequeño (Ampère 1823, p. 267: "des courants électriques formants de très-petits circuitos autour de cette ligne, dans des planes infiniment rapprochés qui lui soient perpendiculaires").
3. Sesión de la Académie des sciences del 22 de diciembre de 1823, publicada impresa en: Ampère, "Mémoire sur la théorie mathématique des phénomènes électro-dynamiques", Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France 6 (1827) , París, F. Didot, págs. 267 y siguientes. (y figuras 29 y 33). "l'assemblage de tous les circuits qui l'entourent [es decir, l'arc], assemblage auquel j'ai donné le nom de solénoïde électro-dynamique , du mot grec σωληνοειδὴς, dont la signification exprime précisement ce qui a la forme d 'un canal, c'est-à-dire la superficie de esta forma sobre la quelle se trouvent tous les circuitos." (pág. 267). Traducción al español: "el conjunto de todos los circuitos que lo rodean [es decir, el arco], conjunto al que le di el nombre de solenoide electrodinámico , de la palabra griega σωληνοειδὴς, cuyo significado expresa precisamente lo que tiene forma de canal, es decir, la superficie de esta forma sobre la que se sitúan todos los circuitos".
4. Jiles, David. Introducción al magnetismo y los materiales magnéticos. CRC Press, pág. 48, 2015.
5. "Copia archivada" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 10 de abril de 2014. Consultado el 28 de marzo de 2013 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
6. "Copia archivada" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 19 de julio de 2021 . Consultado el 10 de julio de 2021 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
7. Müller, Karl Friedrich (1 de mayo de 1926). "Berechnung der Induktivität von Spulen" [Cálculo de la inductancia de bobinas]. Archiv für Elektrotechnik (en alemán). 17 (3): 336–353. doi :10.1007/BF01655986. ISSN  1432-0487. S2CID  123686159.
8. Callaghan, Edmund E.; Maslen, Stephen H. (1 de octubre de 1960). "El campo magnético de un solenoide finito". Informes técnicos de la NASA . NASA-TN-D-465 (E-900).
9. Caciagli, Alessio; Baars, Roel J.; Philipse, Albert P.; Kuipers, Bonny WM (2018). "Expresión exacta para el campo magnético de un cilindro finito con magnetización uniforme arbitraria". Revista de magnetismo y materiales magnéticos . 456 : 423–432. Código Bibliográfico :2018JMMM..456..423C. doi :10.1016/j.jmmm.2018.02.003. hdl :1874/363313. ISSN  0304-8853. S2CID  126037802.
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Enlaces externos

• Tutorial interactivo de Java: Campo magnético de un solenoide, Laboratorio Nacional de Altos Campos Magnéticos
• Discusión sobre solenoides en Hyperphysics