Dimensión crítica

Dimensionalidad del espacio en el que cambia el carácter de la transición de fase

En el análisis del grupo de renormalización de las transiciones de fase en física , una dimensión crítica es la dimensionalidad del espacio en la que cambia el carácter de la transición de fase. Por debajo de la dimensión crítica inferior no hay transición de fase. Por encima de la dimensión crítica superior, los exponentes críticos de la teoría se convierten en los mismos que en la teoría del campo medio . Un criterio elegante para obtener la dimensión crítica dentro de la teoría del campo medio se debe a V. Ginzburg .

Dado que el grupo de renormalización establece una relación entre una transición de fase y una teoría cuántica de campos , esto tiene implicaciones para esta última y para nuestra comprensión más amplia de la renormalización en general. Por encima de la dimensión crítica superior, la teoría cuántica de campos que pertenece al modelo de la transición de fase es una teoría de campo libre . Por debajo de la dimensión crítica inferior, no existe ninguna teoría de campos que corresponda al modelo.

En el contexto de la teoría de cuerdas, el significado es más restringido: la dimensión crítica es la dimensión en la que la teoría de cuerdas es consistente suponiendo un fondo de dilatones constante sin permutaciones confusas adicionales por efectos de la radiación de fondo. El número preciso puede determinarse mediante la cancelación requerida de la anomalía conforme en la hoja del mundo ; es 26 para la teoría de cuerdas bosónicas y 10 para la teoría de supercuerdas .

Dimensión crítica superior en la teoría de campos

Determinar la dimensión crítica superior de una teoría de campo es una cuestión de álgebra lineal . Vale la pena formalizar el procedimiento porque proporciona la aproximación de orden más bajo para el escalamiento y una entrada esencial para el grupo de renormalización . También revela las condiciones para tener un modelo crítico en primer lugar.

Los exponentes de los monomios de un lagrangiano crítico definen un hiperplano en un espacio de exponentes. La dimensión crítica superior se puede leer en el eje y. ${\displaystyle E_{1}}$

Un lagrangiano puede escribirse como una suma de términos, cada uno de los cuales consiste en una integral sobre un monomio de coordenadas y campos . Algunos ejemplos son el modelo estándar y el punto tricrítico isótropo de Lifshitz con lagrangianos. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$

${\displaystyle \displaystyle S=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla \phi \right)^{2}+u\phi ^{4}\right\},}$

${\displaystyle \displaystyle S_{L.T.P}=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{6}\right\},}$

Véase también la figura de la derecha. Esta estructura simple puede ser compatible con una invariancia de escala bajo un reescalamiento de las coordenadas y los campos con un factor de acuerdo con ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}b^{\left[x_{i}\right]},\phi _{i}\rightarrow \phi _{i}b^{\left[\phi _{i}\right]}.}$

El tiempo no se destaca aquí, es simplemente otra coordenada: si el lagrangiano contiene una variable de tiempo, entonces esta variable debe reescalarse como si tuviera algún exponente constante . El objetivo es determinar el conjunto de exponentes . ${\displaystyle t\rightarrow tb^{-z}}$ ${\displaystyle z=-[t]}$ ${\displaystyle N=\{[x_{i}],[\phi _{i}]\}}$

Un exponente, digamos , puede elegirse arbitrariamente, por ejemplo . En el lenguaje del análisis dimensional esto significa que los exponentes cuentan los factores del vector de onda (una longitud recíproca ). Cada monomio del lagrangiano conduce así a una ecuación lineal homogénea para los exponentes . Si hay coordenadas y campos (inequivalentes) en el lagrangiano, entonces dichas ecuaciones constituyen una matriz cuadrada. Si esta matriz fuera invertible entonces sólo existiría la solución trivial . ${\displaystyle [x_{1}]}$ ${\displaystyle [x_{1}]=-1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k=1/L_{1}}$ ${\displaystyle \sum E_{i,j}N_{j}=0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N=0}$

La condición para una solución no trivial da una ecuación entre las dimensiones del espacio, y esto determina la dimensión crítica superior (siempre que haya solo una dimensión variable en el lagrangiano). Una redefinición de las coordenadas y los campos ahora muestra que determinar los exponentes de escala es equivalente a un análisis dimensional con respecto al vector de onda , con todas las constantes de acoplamiento que ocurren en el lagrangiano convertidos en adimensionales. Las constantes de acoplamiento adimensionales son el sello técnico para la dimensión crítica superior. ${\displaystyle \det(E_{i,j})=0}$ ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$

El escalamiento ingenuo a nivel del lagrangiano no corresponde directamente al escalamiento físico porque se requiere un punto de corte para dar un significado a la teoría de campo y a la integral de trayectoria . Al cambiar la escala de longitud también se cambia el número de grados de libertad. Esta complicación se tiene en cuenta en el grupo de renormalización . El resultado principal en la dimensión crítica superior es que la invariancia de escala sigue siendo válida para factores grandes , pero con factores adicionales en el escalamiento de las coordenadas y los campos. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ln(b)}$

Lo que sucede por debajo o por encima depende de si uno está interesado en distancias largas ( teoría estadística de campos ) o distancias cortas ( teoría cuántica de campos ). Las teorías cuánticas de campos son triviales (convergentes) por debajo y no renormalizables por encima . ^[1] Las teorías estadísticas de campos son triviales (convergentes) por encima y renormalizables por debajo . En el último caso surgen contribuciones "anómalas" a los exponentes de escala ingenuos . Estas contribuciones anómalas a los exponentes críticos efectivos desaparecen en la dimensión crítica superior. ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle N}$

Es instructivo ver cómo la invariancia de escala en la dimensión crítica superior se convierte en una invariancia de escala por debajo de esta dimensión. Para vectores de onda externos pequeños, las funciones de vértice adquieren exponentes adicionales, por ejemplo . Si estos exponentes se insertan en una matriz (que solo tiene valores en la primera columna), la condición para la invariancia de escala se convierte en . Esta ecuación solo se puede satisfacer si los exponentes anómalos de las funciones de vértice cooperan de alguna manera. De hecho, las funciones de vértice dependen entre sí jerárquicamente. Una forma de expresar esta interdependencia son las ecuaciones de Schwinger-Dyson . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{2}(k)\thicksim k^{2-\eta (d)}}$ ${\displaystyle A(d)}$ ${\displaystyle \det(E+A(d))=0}$

Por lo tanto, el escalamiento ingenuo en la dimensión crítica superior es importante como aproximación de orden cero. El escalamiento ingenuo también clasifica los términos del lagrangiano como relevantes, irrelevantes o marginales. Un lagrangiano es compatible con el escalamiento si los exponentes - y - se encuentran en un hiperplano; para ver ejemplos, consulte la figura anterior. es un vector normal de este hiperplano. ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle E_{i,j}}$ ${\displaystyle N}$

Dimensión crítica inferior

La dimensión crítica inferior de una transición de fase de una clase de universalidad dada es la última dimensión para la cual esta transición de fase no ocurre si la dimensión se incrementa comenzando con . ${\displaystyle d_{L}}$ ${\displaystyle d=1}$

La estabilidad termodinámica de una fase ordenada depende de la entropía y la energía. Cuantitativamente, esto depende del tipo de paredes del dominio y de sus modos de fluctuación. No parece haber una forma formal genérica para derivar la dimensión crítica inferior de una teoría de campo. Los límites inferiores pueden derivarse con argumentos de mecánica estadística .

Consideremos primero un sistema unidimensional con interacciones de corto alcance. Crear una pared de dominio requiere una cantidad fija de energía . Extraer esta energía de otros grados de libertad disminuye la entropía en . Este cambio de entropía debe compararse con la entropía de la propia pared de dominio. ^[2] En un sistema de longitud hay posiciones para la pared de dominio, lo que conduce (según el principio de Boltzmann ) a una ganancia de entropía . Para una temperatura distinta de cero y lo suficientemente grande, la ganancia de entropía siempre domina y, por lo tanto, no hay transición de fase en sistemas unidimensionales con interacciones de corto alcance en . La dimensión espacial es, por tanto, un límite inferior para la dimensión crítica inferior de tales sistemas. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \Delta S=-\epsilon /T}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L/a}$ ${\displaystyle \Delta S=k_{B}\log(L/a)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle d_{1}=1}$

Se puede derivar un límite inferior más fuerte con la ayuda de argumentos similares para sistemas con interacciones de corto alcance y un parámetro de orden con una simetría continua. En este caso, el teorema de Mermin-Wagner establece que el valor esperado del parámetro de orden se anula en , y por lo tanto no hay transición de fase del tipo habitual en y por debajo. ${\displaystyle d_{L}=2}$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle d_{L}=2}$

Para sistemas con desorden extinguido, podría ser relevante un criterio dado por Imry y Ma ^[3] . Estos autores utilizaron el criterio para determinar la dimensión crítica inferior de los imanes de campo aleatorio.

Referencias

1. Zinn-Justin, Jean (1996). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos . Oxford: Clarendon Press . ISBN. 0-19-851882-X.
2. Pitaevskii, LP; Landau, LD; Lifshitz, EM; Sykes, JB; Kearsley, MW; Lifshitz, EM (1991). Física estadística . Oxford: Butterworth-Heinemann . ISBN 0-7506-3372-7.
3. Imry, Y.; SK Ma (1975). "Inestabilidad de campo aleatorio del estado ordenado de simetría continua". Phys. Rev. Lett . 35 (21): 1399–1401. Código Bibliográfico :1975PhRvL..35.1399I. doi :10.1103/PhysRevLett.35.1399.

Enlaces externos

• Kanon: Un programa gratuito de Windows para determinar la dimensión crítica, con ejemplos, ayuda en línea y detalles matemáticos