Matriz triangular

Tipo especial de matriz cuadrada

En matemáticas, una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada . Una matriz cuadrada se llamatriangular inferior si todas las entradaspor encimade ladiagonal principalson cero. De manera similar, una matriz cuadrada se llamatriangular superior si todas las entradasdebajode la diagonal principal son cero.

Debido a que las ecuaciones matriciales con matrices triangulares son más fáciles de resolver, son muy importantes en el análisis numérico . Mediante el algoritmo de descomposición LU , una matriz invertible puede escribirse como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U si y solo si todos sus menores principales son distintos de cero.

Descripción

Una matriz de la forma

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}}$

se llama matriz triangular inferior o matriz triangular izquierda , y análogamente una matriz de la forma

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}}$

Se denomina matriz triangular superior o matriz triangular derecha . Una matriz triangular inferior o izquierda se denota comúnmente con la variable L , y una matriz triangular superior o derecha se denota comúnmente con la variable U o R .

Una matriz que es tanto triangular superior como inferior es diagonal . Las matrices que son similares a las matrices triangulares se denominan triangularizables .

Una matriz no cuadrada (o, a veces, cualquier matriz) con ceros por encima (por debajo) de la diagonal se denomina matriz trapezoidal inferior (superior). Las entradas distintas de cero forman la forma de un trapezoide .

Ejemplos

La matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\end{bmatrix}}}$

es triangular inferior, y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

es triangular superior.

Sustitución hacia adelante y hacia atrás

Una ecuación matricial en la forma o es muy fácil de resolver mediante un proceso iterativo llamado sustitución hacia adelante para matrices triangulares inferiores y, análogamente, sustitución hacia atrás para matrices triangulares superiores. El proceso se llama así porque para matrices triangulares inferiores, primero se calcula , luego se sustituye ese valor hacia adelante en la siguiente ecuación para resolver , y se repite hasta . En una matriz triangular superior, se trabaja hacia atrás, primero calculando , luego sustituyéndolo en la ecuación anterior para resolver , y repitiendo hasta . ${\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ${\displaystyle U\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n-1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$

Tenga en cuenta que esto no requiere invertir la matriz.

Sustitución delantera

La ecuación matricial L x = b se puede escribir como un sistema de ecuaciones lineales

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

Observe que la primera ecuación ( ) solo involucra , y por lo tanto se puede resolver para directamente. La segunda ecuación solo involucra y , y por lo tanto se puede resolver una vez que se sustituye en el valor ya resuelto para . Continuando de esta manera, la ecuación -ésima solo involucra , y se puede resolver para utilizando los valores previamente resueltos para . Las fórmulas resultantes son: ${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}$

Una ecuación matricial con una matriz triangular superior U se puede resolver de forma análoga, sólo que trabajando a la inversa.

Aplicaciones

La sustitución hacia adelante se utiliza en el bootstrap financiero para construir una curva de rendimiento .

Propiedades

La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa.

Una matriz que es a la vez simétrica y triangular es diagonal. De manera similar, una matriz que es a la vez normal (es decir, A ^* A = AA ^* , donde A ^* es la transpuesta conjugada ) y triangular también es diagonal. Esto se puede ver observando las entradas diagonales de A ^* A y AA ^* .

El determinante y la permanente de una matriz triangular son iguales al producto de las entradas diagonales, como se puede comprobar mediante cálculo directo.

De hecho, es más cierto: los valores propios de una matriz triangular son exactamente sus entradas diagonales. Además, cada valor propio aparece exactamente k veces en la diagonal, donde k es su multiplicidad algebraica , es decir, su multiplicidad como raíz del polinomio característico de A. En otras palabras, el polinomio característico de una matriz triangular n × n A es exactamente ${\displaystyle p_{A}(x)=\det(xI-A)}$

${\displaystyle p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$,

es decir, el único polinomio de grado n cuyas raíces son las entradas diagonales de A (con multiplicidades). Para ver esto, observe que también es triangular y, por lo tanto, su determinante es el producto de sus entradas diagonales . ^[1] ${\displaystyle xI-A}$ ${\displaystyle \det(xI-A)}$ ${\displaystyle (x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$

Formularios especiales

Matriz unitriangular

Si las entradas en la diagonal principal de una matriz triangular (superior o inferior) son todas 1, la matriz se llama unitriangular (superior o inferior) .

Otros nombres que se utilizan para estas matrices son matriz triangular unitaria (superior o inferior) o, muy raramente, matriz triangular normalizada (superior o inferior) . Sin embargo, una matriz triangular unitaria no es lo mismo que una matriz unitaria y una matriz triangular normalizada no tiene nada que ver con la noción de norma matricial .

Todas las matrices unitriangulares finitas son unipotentes .

Matriz estrictamente triangular

Si todas las entradas de la diagonal principal de una matriz triangular (superior o inferior) también son 0, la matriz se denomina estrictamente triangular (superior o inferior) .

Todas las matrices finitas estrictamente triangulares son nilpotentes de índice como máximo n como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton .

Matriz triangular atómica

Una matriz triangular atómica (superior o inferior) es una forma especial de matriz unitriangular, donde todos los elementos fuera de la diagonal son cero, excepto las entradas en una sola columna. Este tipo de matriz también se denomina matriz de Frobenius , matriz de Gauss o matriz de transformación de Gauss .

Matriz triangular de bloques

Una matriz triangular de bloques es una matriz de bloques (matriz particionada) que es una matriz triangular.

Bloque superior triangular

Una matriz es triangular en bloque superior si ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

donde para todos . ^[2] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Bloque inferior triangular

Una matriz es triangular de bloque inferior si ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

donde para todos . ^[2] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Triangularizabilidad

Una matriz que es similar a una matriz triangular se denomina triangularizable . En abstracto, esto es equivalente a estabilizar una bandera : las matrices triangulares superiores son precisamente aquellas que preservan la bandera estándar , que viene dada por la base ordenada estándar y la bandera resultante. Todas las banderas son conjugadas (ya que el grupo lineal general actúa transitivamente sobre las bases), por lo que cualquier matriz que estabilice una bandera es similar a una que estabilice la bandera estándar. ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

Cualquier matriz cuadrada compleja es triangularizable. ^[1] De hecho, una matriz A sobre un cuerpo que contiene todos los valores propios de A (por ejemplo, cualquier matriz sobre un cuerpo algebraicamente cerrado ) es similar a una matriz triangular. Esto se puede demostrar mediante inducción sobre el hecho de que A tiene un vector propio, tomando el espacio cociente por el vector propio e induciendo para mostrar que A estabiliza una bandera y, por lo tanto, es triangularizable con respecto a una base para esa bandera.

El teorema de la forma normal de Jordan ofrece una afirmación más precisa : en esta situación, A es similar a una matriz triangular superior de una forma muy particular. Sin embargo, el resultado de la triangularización más simple suele ser suficiente y, en cualquier caso, se utiliza para demostrar el teorema de la forma normal de Jordan. ^{[1] [3]}

En el caso de matrices complejas, es posible decir más sobre la triangularización, a saber, que cualquier matriz cuadrada A tiene una descomposición de Schur . Esto significa que A es unitariamente equivalente (es decir, similar, utilizando una matriz unitaria como cambio de base) a una matriz triangular superior; esto se deduce tomando una base hermítica para la bandera.

Triangulación simultánea

Se dice que un conjunto de matrices son ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$simultáneamente triangularizables si existe una base bajo la cual todas son triangulares superiores; equivalentemente, si son triangularizables superiores por una única matriz de semejanzaP.Un conjunto de matrices de este tipo se entiende más fácilmente considerando el álgebra de matrices que genera, es decir, todos los polinomios en eldenotadoLa triangularizabilidad simultánea significa que esta álgebra es conjugada en el subálgebra de Lie de matrices triangulares superiores, y es equivalente a que esta álgebra sea un subálgebra de Lie de unsubálgebra de Borel. ${\displaystyle A_{i},}$ ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}].}$

El resultado básico es que (sobre un cuerpo algebraicamente cerrado), las matrices conmutativas o, más generalmente, son triangularizables simultáneamente. Esto se puede demostrar mostrando primero que las matrices conmutativas tienen un vector propio común y luego induciendo en la dimensión como antes. Esto fue demostrado por Frobenius, a partir de 1878 para un par conmutativo, como se discutió en matrices conmutativas . En cuanto a una sola matriz, sobre los números complejos estas se pueden triangularizar mediante matrices unitarias. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$

El hecho de que las matrices conmutativas tengan un vector propio común puede interpretarse como resultado del Nullstellensatz de Hilbert : las matrices conmutativas forman un álgebra conmutativa sobre la cual puede interpretarse como una variedad en el espacio afín k -dimensional, y la existencia de un valor propio (común) (y por lo tanto un vector propio común) corresponde a que esta variedad tenga un punto (que no esté vacío), que es el contenido del Nullstellensatz (débil). ^{[ cita requerida ]} En términos algebraicos, estos operadores corresponden a una representación algebraica del álgebra polinómica en k variables. ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}]}$ ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{k}]}$

Esto se generaliza mediante el teorema de Lie , que muestra que cualquier representación de un álgebra de Lie resoluble es simultáneamente triangularizable superiormente, siendo el caso de matrices conmutativas el caso del álgebra de Lie abeliana , siendo abeliana a fortiori resoluble.

De manera más general y precisa, un conjunto de matrices es simultáneamente triangularizable si y solo si la matriz es nilpotente para todos los polinomios p en k variables no conmutativas, donde es el conmutador ; para conmutar el conmutador se anula, por lo que esto se cumple. Esto fue demostrado por Drazin, Dungey y Gruenberg en 1951; ^[4] Prasolov da una breve prueba en 1994. ^[5] Una dirección es clara: si las matrices son simultáneamente triangularizables, entonces es estrictamente triangularizable superior (por lo tanto nilpotente), lo que se conserva mediante la multiplicación por cualquiera o una combinación de las mismas: seguirá teniendo 0 en la diagonal en la base triangularizante. ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ ${\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{k}}$

Álgebras de matrices triangulares

Matrices de Toeplitz binarias unitriangulares inferiores , multiplicadas mediante operaciones F 2 . Forman la tabla de Cayley de Z 4 y corresponden a potencias de la permutación del código Gray de 4 bits.

La triangularidad superior se conserva mediante muchas operaciones:

• La suma de dos matrices triangulares superiores es triangular superior.
• El producto de dos matrices triangulares superiores es triangular superior.
• La inversa de una matriz triangular superior, si existe, es triangular superior.
• El producto de una matriz triangular superior y un escalar es triangular superior.

En conjunto, estos hechos significan que las matrices triangulares superiores forman una subálgebra del álgebra asociativa de matrices cuadradas para un tamaño dado. Además, esto también muestra que las matrices triangulares superiores pueden verse como una subálgebra de Lie del álgebra de Lie de matrices cuadradas de un tamaño fijo, donde el corchete de Lie [ a , b ] está dado por el conmutador ab − ba . El álgebra de Lie de todas las matrices triangulares superiores es un álgebra de Lie resoluble . A menudo se la denomina subálgebra de Borel del álgebra de Lie de todas las matrices cuadradas.

Todos estos resultados se cumplen si se reemplaza la matriz triangular superior por la inferior ; en particular, las matrices triangulares inferiores también forman un álgebra de Lie. Sin embargo, las operaciones que mezclan matrices triangulares superiores e inferiores no producen, en general, matrices triangulares. Por ejemplo, la suma de una matriz triangular superior y una inferior puede ser cualquier matriz; el producto de una matriz triangular inferior con una matriz triangular superior tampoco es necesariamente triangular.

El conjunto de matrices unitriangulares forma un grupo de Lie .

El conjunto de matrices triangulares estrictamente superiores (o inferiores) forma un álgebra de Lie nilpotente , denotada Esta álgebra es el álgebra de Lie derivada de , el álgebra de Lie de todas las matrices triangulares superiores; en símbolos, Además, es el álgebra de Lie del grupo de Lie de matrices unitriangulares. ${\displaystyle {\mathfrak {n}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

De hecho, por el teorema de Engel , cualquier álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita es conjugada a un subálgebra de las matrices triangulares superiores estrictamente, es decir, un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita es simultáneamente estrictamente triangularizable superiormente.

Las álgebras de matrices triangulares superiores tienen una generalización natural en el análisis funcional que produce álgebras de nido en espacios de Hilbert .

Subgrupos de Borel y subálgebras de Borel

El conjunto de matrices triangulares invertibles de un tipo dado (superior o inferior) forma un grupo , en realidad un grupo de Lie , que es un subgrupo del grupo lineal general de todas las matrices invertibles. Una matriz triangular es invertible precisamente cuando sus elementos diagonales son invertibles (distintos de cero).

En los números reales, este grupo es desconectado, teniendo componentes según sea positivo o negativo cada elemento de la diagonal. El componente identidad son las matrices triangulares invertibles con elementos positivos en la diagonal, y el grupo de todas las matrices triangulares invertibles es un producto semidirecto de este grupo y el grupo de matrices diagonales con elementos positivos en la diagonal, correspondientes a los componentes. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \pm 1}$

El álgebra de Lie del grupo de Lie de matrices triangulares superiores invertibles es el conjunto de todas las matrices triangulares superiores, no necesariamente invertibles, y es un álgebra de Lie resoluble . Se trata, respectivamente, del subgrupo estándar de Borel B del grupo de Lie GL _n y del subálgebra estándar de Borel del álgebra de Lie gl _n . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Las matrices triangulares superiores son precisamente las que estabilizan la bandera patrón . Las invertibles entre ellas forman un subgrupo del grupo lineal general, cuyos subgrupos conjugados son aquellos definidos como estabilizadores de alguna (otra) bandera completa. Estos subgrupos son subgrupos de Borel . El grupo de matrices triangulares inferiores invertibles es un subgrupo de este tipo, ya que es el estabilizador de la bandera patrón asociada a la base patrón en orden inverso.

El estabilizador de una bandera parcial obtenido al olvidar algunas partes de la bandera estándar puede describirse como un conjunto de matrices triangulares superiores en bloque (pero sus elementos no son todas matrices triangulares). Los conjugados de dicho grupo son los subgrupos definidos como el estabilizador de alguna bandera parcial. Estos subgrupos se denominan subgrupos parabólicos.

Ejemplos

El grupo de matrices unitriangulares superiores 2×2 es isomorfo al grupo aditivo del cuerpo de los escalares; en el caso de los números complejos corresponde a un grupo formado por transformaciones parabólicas de Möbius ; las matrices unitriangulares superiores 3×3 forman el grupo de Heisenberg .

Véase también

• Eliminación gaussiana
• Descomposición QR
• Descomposición de Cholesky
• Matriz de Hessenberg
• Matriz tridiagonal
• Subespacio invariante

Referencias

1. Axler, Sheldon Jay (1997). Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.). Nueva York: Springer. pp. 86–87, 169. ISBN 0-387-22595-1.OCLC 54850562  .
2. Bernstein, Dennis S. (2009). Matemáticas matriciales: teoría, hechos y fórmulas (2.ª ed.). Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 168. ISBN 978-0-691-14039-1.
3. Herstein, IN (1975). Temas de álgebra (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. pp. 285–290. ISBN 0-471-01090-1.OCLC 3307396  .
4. Drazin, MP; Dungey, JW; Gruenberg, KW (1951). "Algunos teoremas sobre matrices conmutativas". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 26 (3): 221–228. doi :10.1112/jlms/s1-26.3.221.
5. Prasolov, VV (1994). Problemas y teoremas en álgebra lineal. Simeon Ivanov. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 178–179. ISBN 9780821802366.OCLC 30076024  .