Matriz unitaria

Matriz compleja cuya transpuesta conjugada es igual a su inversa

En álgebra lineal , una matriz cuadrada compleja invertible U es unitaria si su matriz inversa U ⁻¹ es igual a su transpuesta conjugada U ^* , es decir, si

$${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}$$

donde I es la matriz identidad .

En física, especialmente en mecánica cuántica, la transpuesta conjugada se denomina adjunta hermítica de una matriz y se denota con una daga (†), por lo que la ecuación anterior se escribe

$${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.}$$

Una matriz compleja U es unitaria especial si es unitaria y su determinante matricial es igual a 1 .

Para los números reales , el análogo de una matriz unitaria es una matriz ortogonal . Las matrices unitarias tienen una importancia significativa en la mecánica cuántica porque preservan las normas y, por lo tanto, las amplitudes de probabilidad .

Propiedades

Para cualquier matriz unitaria U de tamaño finito, se cumple lo siguiente:

• Dados dos vectores complejos x e y , la multiplicación por U preserva su producto interno ; es decir, ⟨ U x , U y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ .
• U es normal ( ). ${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}}$
• U es diagonalizable , es decir, U es unitariamente semejante a una matriz diagonal, como consecuencia del teorema espectral . Por lo tanto, U tiene una descomposición de la forma donde V es unitaria y D es diagonal y unitaria. ${\displaystyle U=VDV^{*},}$
• ${\displaystyle \left|\det(U)\right|=1}$. Es decir, estará en el círculo unitario del plano complejo. ${\displaystyle \det(U)}$
• Sus espacios propios son ortogonales.
• U se puede escribir como U = e ^iH , donde e indica la matriz exponencial , i es la unidad imaginaria y H es una matriz hermítica .

Para cualquier entero no negativo n , el conjunto de todas las matrices unitarias n  ×  n con multiplicación de matrices forma un grupo , llamado grupo unitario U( n ) .

Toda matriz cuadrada con norma euclidiana unitaria es el promedio de dos matrices unitarias. ^[1]

Condiciones equivalentes

Si U es una matriz cuadrada compleja, entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ^[2]

1. ${\displaystyle U}$es unitario.
2. ${\displaystyle U^{*}}$ es unitario.
3. ${\displaystyle U}$es invertible con . ${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$
4. Las columnas de forman una base ortonormal de con respecto al producto interno habitual. En otras palabras, . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle U^{*}U=I}$
5. Las filas de forman una base ortonormal de con respecto al producto interno habitual. En otras palabras, . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle UU^{*}=I}$
6. ${\displaystyle U}$es una isometría respecto de la norma usual. Es decir, para todo , donde . ${\displaystyle \|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$
7. ${\displaystyle U}$es una matriz normal (equivalentemente, existe una base ortonormal formada por vectores propios de ) con valores propios que se encuentran en el círculo unitario . ${\displaystyle U}$

Construcciones elementales

Matriz unitaria 2 × 2

Una expresión general de una matriz unitaria de 2 × 2 es

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,}$$

que depende de 4 parámetros reales (la fase de a , la fase de b , la magnitud relativa entre a y b , y el ángulo φ ). La forma está configurada de modo que el determinante de dicha matriz sea $${\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }~.}$$

El subgrupo de aquellos elementos con se llama grupo unitario especial SU(2). ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ \det(U)=1\ }$

Entre varias formas alternativas, la matriz U se puede escribir en esta forma: $${\displaystyle \ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,}$$

donde y arriba, y los ángulos pueden tomar cualquier valor. ${\displaystyle \ e^{i\alpha }\cos \theta =a\ }$ ${\displaystyle \ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,}$ ${\displaystyle \ \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta \ }$

Introduciendo y tiene la siguiente factorización: ${\displaystyle \ \alpha =\psi +\delta \ }$ ${\displaystyle \ \beta =\psi -\delta \ ,}$

$${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.}$$

Esta expresión resalta la relación entre matrices unitarias 2 × 2 y matrices ortogonales 2 × 2 de ángulo θ .

Otra factorización es ^[3]

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.}$$

Son posibles muchas otras factorizaciones de una matriz unitaria en matrices básicas. ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9]}

Véase también

• Matriz hermítica y

Matriz antihermítica

• Descomposición matricial
• Grupo ortogonal O( n )
• Grupo ortogonal especial SO( n )
• Matriz ortogonal
• Matriz semiortogonal
• Puerta lógica cuántica
• Grupo unitario especial SU( n )
• Matriz simpléctica
• Grupo unitario U( n )
• Operador unitario

Referencias

1. Li, Chi-Kwong; Poon, Edward (2002). "Descomposición aditiva de matrices reales". Álgebra lineal y multilineal . 50 (4): 321–326. doi :10.1080/03081080290025507. S2CID  120125694.
2. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Análisis de matrices . Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9781139020411. ISBN . 9781139020411.
3. Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). "Una nota sobre la factorización de matrices unitarias". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 547 : 32–44. doi : 10.1016/j.laa.2018.02.017 . ISSN  0024-3795. S2CID  125455174.
4. Williams, Colin P. (2011). "Puertas cuánticas". En Williams, Colin P. (ed.). Exploraciones en computación cuántica . Textos en ciencias de la computación. Londres, Reino Unido: Springer. p. 82. doi :10.1007/978-1-84628-887-6_2. ISBN 978-1-84628-887-6.
5. Nielsen, MA ; Chuang, Isaac (2010). Computación cuántica e información cuántica. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . p. 20. ISBN 978-1-10700-217-3.OCLC 43641333  .
6. Barenco, Adriano; Bennett, Charles H.; Cleve, Richard; DiVincenzo, David P.; Margolus, Norman; Shor, Peter; et al. (1 de noviembre de 1995). "Puertas elementales para computación cuántica". Physical Review A . 52 (5). American Physical Society (APS): 3457–3467, esp.p. 3465. arXiv : quant-ph/9503016 . doi :10.1103/physreva.52.3457. ISSN  1050-2947. PMID  9912645. S2CID  8764584.
7. Marvian, Iman (10 de enero de 2022). «Restricciones a las operaciones unitarias realizables impuestas por la simetría y la localidad». Nature Physics . 18 (3): 283–289. arXiv : 2003.05524 . doi :10.1038/s41567-021-01464-0. ISSN  1745-2481. S2CID  245840243.
8. Jarlskog, Cecilia (2006). "Parametrización recursiva y fases invariantes de matrices unitarias". arXiv : math-ph/0510034 .
9. Alhambra, Álvaro M. (10 de enero de 2022). "Prohibido por la simetría". Noticias y opiniones. Nature Physics . 18 (3): 235–236. doi :10.1038/s41567-021-01483-x. ISSN  1745-2481. S2CID  256745894. La física de los grandes sistemas se entiende a menudo como el resultado de las operaciones locales entre sus componentes. Ahora, se demuestra que esta imagen puede ser incompleta en sistemas cuánticos cuyas interacciones están limitadas por simetrías.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Matriz unitaria". MathWorld . Todd Rowland.
• Ivanova, OA (2001) [1994], "Matriz unitaria", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Muestra que los valores propios de una matriz unitaria tienen módulo 1". Stack Exchange . 28 de marzo de 2016.