En la teoría de conjuntos , la unión (denotada por ∪) de una colección de conjuntos es el conjunto de todos los elementos de la colección. [1] Es una de las operaciones fundamentales a través de las cuales los conjuntos pueden combinarse y relacionarse entre sí.La unión nularia se refiere a una unión decero ( )y es por definición igual alconjunto vacío.
Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que están en A , en B o en ambos A y B . [2] En la notación de constructor de conjuntos ,
Por ejemplo, si A = {1, 3, 5, 7} y B = {1, 2, 4, 6, 7} entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un ejemplo más elaborado (que involucra dos conjuntos infinitos) es:
Como otro ejemplo, el número 9 no está contenido en la unión del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10, ...}, porque 9 no es primo ni par.
Los conjuntos no pueden tener elementos duplicados, [3] [4] por lo que la unión de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {1, 2, 3, 4}. La aparición múltiple de elementos idénticos no tiene efecto sobre la cardinalidad de un conjunto o su contenido.
La unión binaria es una operación asociativa ; es decir, para cualesquiera conjuntos , Por lo tanto, los paréntesis pueden omitirse sin ambigüedad: cualquiera de las anteriores puede escribirse como . Además, la unión es conmutativa , por lo que los conjuntos pueden escribirse en cualquier orden. [5] El conjunto vacío es un elemento identidad para la operación de unión. Es decir, , para cualquier conjunto . Además, la operación de unión es idempotente: . Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la disyunción lógica .
La intersección se distribuye sobre la unión y la unión se distribuye sobre la intersección [2] El conjunto potencia de un conjunto , junto con las operaciones dadas por unión, intersección y complementación , es un álgebra de Boole . En esta álgebra de Boole, la unión se puede expresar en términos de intersección y complementación mediante la fórmula donde el superíndice denota el complemento en el conjunto universal .
Se puede tomar la unión de varios conjuntos simultáneamente. Por ejemplo, la unión de tres conjuntos A , B y C contiene todos los elementos de A , todos los elementos de B y todos los elementos de C y nada más. Por lo tanto, x es un elemento de A ∪ B ∪ C si y solo si x está en al menos uno de A , B y C .
Una unión finita es la unión de un número finito de conjuntos; la frase no implica que el conjunto de unión sea un conjunto finito . [6] [7]
La noción más general es la unión de una colección arbitraria de conjuntos, a veces llamada unión infinitaria . Si M es un conjunto o clase cuyos elementos son conjuntos, entonces x es un elemento de la unión de M si y solo si hay al menos un elemento A de M tal que x es un elemento de A. [8] En símbolos:
Esta idea incluye las secciones anteriores: por ejemplo, A ∪ B ∪ C es la unión del conjunto { A , B , C }. Además, si M es el conjunto vacío, entonces la unión de M es el conjunto vacío.
La notación para el concepto general puede variar considerablemente. Para una unión finita de conjuntos, a menudo se escribe o . Varias notaciones comunes para uniones arbitrarias incluyen , , y . La última de estas notaciones se refiere a la unión de la colección , donde I es un conjunto índice y es un conjunto para cada . En el caso de que el conjunto índice I sea el conjunto de números naturales , se utiliza la notación , que es análoga a la de las sumas infinitas en serie. [8]
Cuando el símbolo "∪" se coloca antes de otros símbolos (en lugar de entre ellos), generalmente se representa en un tamaño más grande.
En Unicode , la unión se representa mediante el carácter U+222A ∪ UNION . [9] En TeX , se representa desde y se representa desde .\cup
\bigcup