Ungula

Región entre una superficie girada y un plano oblicuo

En geometría de sólidos , una ungula es una región de un sólido de revolución , cortada por un plano oblicuo a su base. ^[1] Un ejemplo común es la cuña esférica . El término ungula se refiere a la pezuña de un caballo , una característica anatómica que define una clase de mamíferos llamados ungulados .

El volumen de una ungula de un cilindro fue calculado por Grégoire de Saint Vincent . ^[2] Dos cilindros con radios iguales y ejes perpendiculares se intersecan en cuatro ungulas dobles. ^[3] El bicilindro formado por la intersección había sido medido por Arquímedes en El método de los teoremas mecánicos , pero el manuscrito se perdió hasta 1906.

Un historiador del cálculo describió el papel de la ungula en el cálculo integral :

El propio Grégoire se preocupó principalmente de ilustrar con referencia a la ungula que la integración volumétrica podía reducirse, a través del ductus in planum , a una consideración de las relaciones geométricas entre las posiciones de las figuras planas. La ungula , sin embargo, resultó ser una valiosa fuente de inspiración para quienes lo siguieron y vieron en ella un medio para representar y transformar integrales de muchas maneras ingeniosas. ^{[4] : 146}

Ungula cilíndrica

Ungula de un cilindro circular recto.

Una ungula cilíndrica de radio de base r y altura h tiene volumen

${\displaystyle V={2 \over 3}r^{2}h}$,. ^[5]

Su superficie total es

${\displaystyle A={1 \over 2}\pi r^{2}+{1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+2rh}$,

El área de la superficie de su pared lateral curva es

${\displaystyle A_{s}=2rh}$,

y la superficie de su parte superior (techo inclinado) es

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$.

Prueba

Consideremos un cilindro limitado inferiormente por un plano y superiormente por un plano donde k es la pendiente del techo inclinado: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=ky}$

${\displaystyle k={h \over r}}$.

Al cortar el volumen en rebanadas paralelas al eje y , se obtiene una rebanada diferencial, con forma de prisma triangular, que tiene volumen

${\displaystyle A(x)\,dx}$

dónde

${\displaystyle A(x)={1 \over 2}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\cdot k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={1 \over 2}k(r^{2}-x^{2})}$

es el área de un triángulo rectángulo cuyos vértices son, , , y , y cuya base y altura son, por tanto , y , respectivamente. Entonces el volumen de toda la ungula cilíndrica es ${\displaystyle (x,0,0)}$ ${\displaystyle (x,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},0)}$ ${\displaystyle (x,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}})}$ ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ ${\displaystyle k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}A(x)\,dx=\int _{-r}^{r}{1 \over 2}k(r^{2}-x^{2})\,dx}$

${\displaystyle \qquad ={1 \over 2}k{\Big (}[r^{2}x]_{-r}^{r}-{\Big [}{1 \over 3}x^{3}{\Big ]}_{-r}^{r}{\Big )}={1 \over 2}k(2r^{3}-{2 \over 3}r^{3})={2 \over 3}kr^{3}}$

Lo cual es igual

${\displaystyle V={2 \over 3}r^{2}h}$

después de sustituir . ${\displaystyle rk=h}$

Una superficie diferencial de la pared lateral curva es

${\displaystyle dA_{s}=kr(\sin \theta )\cdot r\,d\theta =kr^{2}(\sin \theta )\,d\theta }$,

cuya área pertenece a un rectángulo casi plano delimitado por los vértices , , , y , y cuyo ancho y altura son por lo tanto y (bastante cerca de) , respectivamente. Entonces el área de la superficie de la pared es ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)}$ ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta ,kr\sin \theta )}$ ${\displaystyle (r\cos(\theta +d\theta ),r\sin(\theta +d\theta ),0)}$ ${\displaystyle (r\cos(\theta +d\theta ),r\sin(\theta +d\theta ),kr\sin(\theta +d\theta ))}$ ${\displaystyle r\,d\theta }$ ${\displaystyle kr\sin \theta }$

${\displaystyle A_{s}=\int _{0}^{\pi }dA_{s}=\int _{0}^{\pi }kr^{2}(\sin \theta )\,d\theta =kr^{2}\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$

donde la integral da como resultado , de modo que el área de la pared es ${\displaystyle -[\cos \theta ]_{0}^{\pi }=-[-1-1]=2}$

${\displaystyle A_{s}=2kr^{2}}$,

y sustituyendo rendimientos ${\displaystyle rk=h}$

${\displaystyle A_{s}=2rh}$.

La base de la ungula cilíndrica tiene el área superficial de medio círculo de radio r : , y la parte superior inclinada de dicha ungula es una media elipse con semieje menor de longitud r y semieje mayor de longitud , de modo que su área es ${\displaystyle {1 \over 2}\pi r^{2}}$ ${\displaystyle r{\sqrt {1+k^{2}}}}$

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi r\cdot r{\sqrt {1+k^{2}}}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+(kr)^{2}}}}$

y sustituyendo rendimientos ${\displaystyle kr=h}$

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$. ∎

Nótese cómo el área de superficie de la pared lateral está relacionada con el volumen: siendo dicha área de superficie , al multiplicarla por se obtiene el volumen de una semicapa diferencial , cuya integral es , el volumen. ${\displaystyle 2kr^{2}}$ ${\displaystyle dr}$ ${\displaystyle {2 \over 3}kr^{3}}$

Cuando la pendiente k es igual a 1 entonces dicha ungula es precisamente un octavo de un bicilindro cuyo volumen es . Un octavo de este es . ${\displaystyle {16 \over 3}r^{3}}$ ${\displaystyle {2 \over 3}r^{3}}$

Ungula cónica

Ungula de cono circular recto.

Una ungula cónica de altura h , radio de base r y pendiente de superficie plana superior k (si la base semicircular está en la parte inferior, en el plano z = 0) tiene volumen

${\displaystyle V={r^{3}kHI \over 6}}$

dónde

${\displaystyle H={1 \over {1 \over h}-{1 \over rk}}}$

es la altura del cono del que se ha cortado la ungula, y

${\displaystyle I=\int _{0}^{\pi }{2H+kr\sin \theta \over (H+kr\sin \theta )^{2}}\sin \theta \,d\theta }$.

La superficie de la pared lateral curva es

${\displaystyle A_{s}={kr^{2}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2}I}$.

Como comprobación de coherencia, considere lo que sucede cuando la altura del cono tiende al infinito, de modo que el cono se convierte en un cilindro en el límite:

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }{\Big (}I-{4 \over H}{\Big )}=\lim _{H\rightarrow \infty }{\Big (}{2H \over H^{2}}\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta -{4 \over H}{\Big )}=0}$

de modo que

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }V={r^{3}kH \over 6}\cdot {4 \over H}={2 \over 3}kr^{3}}$,

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }A_{s}={kr^{2}H \over 2}\cdot {4 \over H}=2kr^{2}}$, y

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }A_{t}={1 \over 2}\pi r^{2}{{\sqrt {1+k^{2}}} \over 1+0}={1 \over 2}\pi r^{2}{\sqrt {1+k^{2}}}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+(rk)^{2}}}}$,

cuyos resultados concuerdan con el caso cilíndrico.

Prueba

Sea un cono descrito por

${\displaystyle 1-{\rho \over r}={z \over H}}$

donde r y H son constantes y z y ρ son variables, con

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\qquad 0\leq \rho \leq r}$

y

${\displaystyle x=\rho \cos \theta ,\qquad y=\rho \sin \theta }$.

Sea el cono cortado por un plano

${\displaystyle z=ky=k\rho \sin \theta }$.

Sustituyendo esta z en la ecuación del cono y resolviendo ρ obtenemos

${\displaystyle \rho _{0}={1 \over {1 \over r}+{k\sin \theta \over H}}}$

que para un valor dado de θ es la coordenada radial del punto común al plano y al cono que está más alejado del eje del cono a lo largo de un ángulo θ desde el eje x . La coordenada de altura cilíndrica de este punto es

${\displaystyle z_{0}=H{\Big (}1-{\rho _{0} \over r}{\Big )}}$.

Entonces, a lo largo de la dirección del ángulo θ , una sección transversal de la ungula cónica se parece al triángulo

${\displaystyle (0,0,0)-(\rho _{0}\cos \theta ,\rho _{0}\sin \theta ,z_{0})-(r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)}$.

Al rotar este triángulo un ángulo sobre el eje z se obtiene otro triángulo con , , sustituidos por , , y respectivamente, donde y son funciones de en lugar de . Como es infinitesimal, entonces y también varían infinitesimalmente con respecto a y , por lo que, a los efectos de considerar el volumen de la pirámide trapezoidal diferencial, pueden considerarse iguales. ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \theta +d\theta }$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle \theta +d\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$

La pirámide trapezoidal diferencial tiene una base trapezoidal con una longitud en la base (del cono) de , una longitud en la parte superior de , y una altitud , por lo que el trapezoide tiene un área ${\displaystyle rd\theta }$ ${\displaystyle {\Big (}{H-z_{0} \over H}{\Big )}rd\theta }$ ${\displaystyle {z_{0} \over H}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$

${\displaystyle A_{T}={r\,d\theta +{\Big (}{H-z_{0} \over H}{\Big )}r\,d\theta \over 2}{z_{0} \over H}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}=r\,d\theta {(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$.

Una altitud desde la base trapezoidal hasta el punto tiene una longitud diferencialmente cercana a ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle {rH \over {\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}}$.

(Esta es la altura de uno de los triángulos laterales de la pirámide trapezoidal.) El volumen de la pirámide es un tercio del área de su base por su longitud altitudinal, por lo que el volumen de la ungula cónica es la integral de eso:

${\displaystyle V=\int _{0}^{\pi }{1 \over 3}{rH \over {\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}r\,d\theta =\int _{0}^{\pi }{1 \over 3}r^{2}{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H}d\theta ={r^{2}k \over 6H}\int _{0}^{\pi }(2H-ky_{0})y_{0}\,d\theta }$

dónde

${\displaystyle y_{0}=\rho _{0}\sin \theta ={\sin \theta \over {1 \over r}+{k\sin \theta \over H}}={1 \over {1 \over r\sin \theta }+{k \over H}}}$

Sustituyendo el lado derecho en la integral y realizando alguna manipulación algebraica se obtiene la fórmula del volumen que se debe demostrar.

Para la pared lateral:

${\displaystyle A_{s}=\int _{0}^{\pi }A_{T}=\int _{0}^{\pi }{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}\,d\theta ={kr{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2H^{2}}\int _{0}^{\pi }(2H-z_{0})y_{0}\,d\theta }$

y la integral en el lado más a la derecha se simplifica a . ∎ ${\displaystyle H^{2}rI}$

A modo de comprobación de coherencia, consideremos lo que ocurre cuando k tiende a infinito; entonces la ungula cónica debería convertirse en un semicono.

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\Big (}I-{\pi \over kr}{\Big )}=0}$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }V={r^{3}kH \over 6}\cdot {\pi \over kr}={1 \over 2}{\Big (}{1 \over 3}\pi r^{2}H{\Big )}}$

que es la mitad del volumen de un cono.

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }A_{s}={kr^{2}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2}\cdot {\pi \over kr}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$

que es la mitad de la superficie de la pared curva de un cono.

Área de superficie de la parte superior

Cuando , la "parte superior" (es decir, la cara plana que no es semicircular como la base) tiene forma parabólica y su área de superficie es ${\displaystyle k=H/r}$

${\displaystyle A_{t}={2 \over 3}r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$.

Cuando entonces la parte superior tiene forma elíptica (es decir, es menor que la mitad de una elipse) y su área de superficie es ${\displaystyle k<H/r}$

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi x_{max}(y_{1}-y_{m}){\sqrt {1+k^{2}}}\Lambda }$

dónde

${\displaystyle x_{max}={\sqrt {{k^{2}r^{4}H^{2}-k^{4}r^{6} \over (k^{2}r^{2}-H^{2})^{2}}+r^{2}}}}$,

${\displaystyle y_{1}={1 \over {1 \over r}+{k \over H}}}$,

${\displaystyle y_{m}={kr^{2}H \over k^{2}r^{2}-H^{2}}}$,

${\displaystyle \Lambda ={\pi \over 4}-{1 \over 2}\arcsin(1-\lambda )-{1 \over 4}\sin(2\arcsin(1-\lambda ))}$, y

${\displaystyle \lambda ={y_{1} \over y_{1}-y_{m}}}$.

Cuando entonces la parte superior es una sección de una hipérbola y su área de superficie es ${\displaystyle k>H/r}$

${\displaystyle A_{t}={\sqrt {1+k^{2}}}(2Cr-aJ)}$

dónde

${\displaystyle C={y_{1}+y_{2} \over 2}=y_{m}}$,

${\displaystyle y_{1}}$es como arriba,

${\displaystyle y_{2}={1 \over {k \over H}-{1 \over r}}}$,

${\displaystyle a={r \over {\sqrt {C^{2}-\Delta ^{2}}}}}$,

${\displaystyle \Delta ={y_{2}-y_{1} \over 2}}$,

${\displaystyle J={r \over a}B+{\Delta ^{2} \over 2}\log {\Biggr |}{{r \over a}+B \over {-r \over a}+B}{\Biggr |}}$,

donde el logaritmo es natural, y

${\displaystyle B={\sqrt {\Delta ^{2}+{r^{2} \over a^{2}}}}}$.

Véase también

• Cuña esférica
• Sólido de Steinmetz

Referencias

1. Ungula en Webster Dictionary.org
2. Gregorio de San Vicente (1647) Opus Geometrium quadraturae circuli et sectionum coni
3. Blaise Pascal Lettre de Dettonville a Carcavi describe el onglete y el doble onglete, enlace de HathiTrust
4. Margaret E. Baron (1969) Los orígenes del cálculo infinitesimal , Pergamon Press , republicado en 2014 por Elsevier , vista previa de Google Books
5. Sólidos: volúmenes y superficies en The Engineering Toolbox

Enlaces externos

• William Vogdes (1861) Tratado elemental sobre medición y geometría práctica a través de Google Books