Velocidad terminal

Velocidad máxima alcanzable por un objeto que cae

La fuerza de gravedad hacia abajo ( F _g ) es igual a la fuerza de arrastre ( F _d ) más la flotabilidad. La fuerza neta sobre el objeto es cero y el resultado es que la velocidad del objeto permanece constante.

La velocidad terminal es la velocidad máxima que puede alcanzar un objeto cuando cae a través de un fluido ( el aire es el ejemplo más común). Se alcanza cuando la suma de la fuerza de arrastre ( F _d ) y la flotabilidad es igual a la fuerza de gravedad descendente ( F _G ) que actúa sobre el objeto. Dado que la fuerza neta sobre el objeto es cero, el objeto tiene aceleración cero . ^{[1] [2]} Para los objetos que caen a través del aire a presión normal, la fuerza de flotabilidad generalmente se descarta y no se toma en cuenta, ya que sus efectos son insignificantes. ^{[ cita requerida ]}

A medida que aumenta la velocidad de un objeto, también aumenta la fuerza de arrastre que actúa sobre él, que también depende de la sustancia por la que pasa (por ejemplo, aire o agua). A cierta velocidad, la fuerza de arrastre o resistencia será igual a la atracción gravitatoria sobre el objeto. En este punto, el objeto deja de acelerar y continúa cayendo a una velocidad constante llamada velocidad terminal (también llamada velocidad de asentamiento ).

Un objeto que se mueve hacia abajo más rápido que la velocidad terminal (por ejemplo, porque fue lanzado hacia abajo, cayó de una parte más delgada de la atmósfera o cambió de forma) disminuirá su velocidad hasta alcanzar la velocidad terminal. La resistencia depende del área proyectada , representada aquí por la sección transversal o silueta del objeto en un plano horizontal.

Un objeto con un área proyectada grande en relación con su masa, como un paracaídas, tiene una velocidad terminal menor que uno con un área proyectada pequeña en relación con su masa, como un dardo. En general, para la misma forma y material, la velocidad terminal de un objeto aumenta con el tamaño. Esto se debe a que la fuerza hacia abajo (peso) es proporcional al cubo de la dimensión lineal, pero la resistencia del aire es aproximadamente proporcional al área de la sección transversal, que aumenta solo con el cuadrado de la dimensión lineal.

En el caso de objetos muy pequeños, como el polvo y la niebla, la velocidad terminal es fácilmente superada por las corrientes de convección, que pueden impedirles llegar al suelo y, por lo tanto, pueden permanecer suspendidos en el aire durante períodos indefinidos. La contaminación del aire y la niebla son ejemplos de ello.

Ejemplos

Gráfico de la velocidad en función del tiempo de un paracaidista que alcanza una velocidad terminal.

Basándose en la resistencia del aire, por ejemplo, la velocidad terminal de un paracaidista en una posición de caída libre boca abajo es de aproximadamente 55 m/s (180 pies/s). ^[3] Esta velocidad es el valor límite asintótico de la velocidad, y las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se equilibran cada vez más entre sí a medida que se aproxima a la velocidad terminal. En este ejemplo, se alcanza una velocidad del 50% de la velocidad terminal después de solo unos 3 segundos, mientras que se necesitan 8 segundos para alcanzar el 90%, 15 segundos para alcanzar el 99%, y así sucesivamente.

Se pueden alcanzar velocidades más altas si el paracaidista retrae sus extremidades (ver también vuelo libre ). En este caso, la velocidad terminal aumenta a aproximadamente 90 m/s (300 pies/s), ^[3] que es casi la velocidad terminal del halcón peregrino que se lanza en picado sobre su presa. ^[4] La misma velocidad terminal se alcanza para una bala típica del calibre .30-06 que cae hacia abajo (cuando regresa al suelo después de haber sido disparada hacia arriba o arrojada desde una torre), según un estudio de artillería del ejército de los EE. UU. de 1920. ^[5]

Los paracaidistas de velocidad de competición vuelan con la cabeza hacia abajo y pueden alcanzar velocidades de 150 m/s (490 pies/s). ^{[ cita requerida ]} El récord actual lo tiene Felix Baumgartner , que saltó desde una altitud de 38.887 m (127.582 pies) y alcanzó los 380 m/s (1.200 pies/s), aunque logró esta velocidad a gran altitud donde la densidad del aire es mucho menor que en la superficie de la Tierra, lo que produce una fuerza de arrastre correspondientemente menor. ^[6]

El biólogo JBS Haldane escribió:

Para el ratón y cualquier animal más pequeño, la gravedad no presenta prácticamente ningún peligro. Se puede dejar caer un ratón en un pozo de una mina de mil metros de largo y, al llegar al fondo, recibe un ligero golpe y se aleja. Una rata muere, un hombre se quiebra, un caballo se salpica. La resistencia que ofrece el aire al movimiento es proporcional a la superficie del objeto en movimiento. Si dividimos la longitud, la anchura y la altura de un animal por diez, su peso se reduce a una milésima, pero su superficie sólo a una centésima. De modo que la resistencia a la caída en el caso del animal pequeño es relativamente diez veces mayor que la fuerza impulsora. ^[7]

Física

Utilizando términos matemáticos, la velocidad terminal, sin considerar los efectos de flotabilidad , se expresa mediante la fórmula: $${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$

• ${\displaystyle V_{t}}$representa la velocidad terminal,
• ${\displaystyle m}$es la masa del objeto que cae,
• ${\displaystyle g}$es la aceleración debida a la gravedad ,
• ${\displaystyle C_{d}}$es el coeficiente de arrastre ,
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido a través del cual cae el objeto, y
• ${\displaystyle A}$es el área proyectada del objeto. ^[8]

En realidad, un objeto se aproxima a su velocidad terminal de forma asintótica .

Los efectos de flotabilidad, debidos a la fuerza ascendente ejercida sobre el objeto por el fluido circundante, se pueden tener en cuenta utilizando el principio de Arquímedes : la masa debe reducirse por la masa del fluido desplazado , con el volumen del objeto. Por lo tanto, en lugar de utilizar la masa reducida en esta fórmula y en las siguientes. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \rho V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m_{r}=m-\rho V}$

La velocidad terminal de un objeto cambia debido a las propiedades del fluido, la masa del objeto y su área de superficie transversal proyectada .

La densidad del aire aumenta con la disminución de la altitud, aproximadamente un 1 % cada 80 metros (260 pies) (consulte la fórmula barométrica ). En el caso de los objetos que caen a través de la atmósfera, por cada 160 metros (520 pies) de caída, la velocidad terminal disminuye un 1 %. Después de alcanzar la velocidad terminal local, mientras continúa la caída, la velocidad disminuye para cambiar con la velocidad terminal local.

Utilizando términos matemáticos, definiendo hacia abajo como positivo, la fuerza neta que actúa sobre un objeto que cae cerca de la superficie de la Tierra es (según la ecuación de arrastre ):

$${\displaystyle F_{\text{net}}=ma=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d},}$$

siendo v ( t ) la velocidad del objeto en función del tiempo t .

En el equilibrio , la fuerza neta es cero ( F _neta = 0) ^{[9] y la velocidad se convierte en el} límite de velocidad terminal _{t →∞} v ( t ) = V _t :

$${\displaystyle mg-{1 \over 2}\rho V_{t}^{2}AC_{d}=0.}$$

Resolviendo para V _t obtenemos:

La ecuación de arrastre es, suponiendo que ρ , g y C _d son constantes: $${\displaystyle ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d}.}$$

Aunque ésta es una ecuación de Riccati que puede resolverse por reducción a una ecuación diferencial lineal de segundo orden, es más fácil separar las variables .

Una forma más práctica de esta ecuación se puede obtener haciendo la sustitución α ² = ⁠ρAC _d/2 miligramos⁠ .

Dividiendo ambos lados por m obtenemos $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g\left(1-\alpha ^{2}v^{2}\right).}$$

La ecuación se puede reorganizar en $${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} v}{g(1-\alpha ^{2}v^{2})}}.}$$

Tomando la integral de ambos lados obtenemos $${\displaystyle \int _{0}^{t}{\mathrm {d} t'}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v'}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}.}$$

Después de la integración, esto se convierte en $${\displaystyle t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v') \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v')}{2\alpha }}+C\right]_{v'=0}^{v'=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v'}{1-\alpha v'}} \over 2\alpha }+C\right]_{v'=0}^{v'=v}}$$

o en una forma más simple con artanh la función tangente hiperbólica inversa . $${\displaystyle t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}={\frac {\mathrm {artanh} (\alpha v)}{\alpha g}},}$$

Alternativamente, con tanh la función tangente hiperbólica . Suponiendo que g es positivo (como se definió) y sustituyendo α nuevamente, la velocidad v se convierte en $${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v,}$$ $${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right).}$$

Usando la fórmula para la velocidad terminal la ecuación puede reescribirse como $${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$ $${\displaystyle v=V_{t}\tanh \left(t{\frac {g}{V_{t}}}\right).}$$

A medida que el tiempo tiende a infinito ( t → ∞), la tangente hiperbólica tiende a 1, lo que da como resultado la velocidad terminal $${\displaystyle V_{t}=\lim _{t\to \infty }v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.}$$

Flujo que se arrastra alrededor de una esfera: líneas de corriente , fuerza de arrastre F _d y fuerza de gravedad F _g

En el caso de un movimiento muy lento del fluido, las fuerzas de inercia del fluido son despreciables (suponiendo que el fluido no tiene masa) en comparación con otras fuerzas. Dichos flujos se denominan flujos reptantes o flujos de Stokes y la condición que se debe cumplir para que los flujos sean reptantes es el número de Reynolds , . La ecuación de movimiento para el flujo reptante ( ecuación simplificada de Navier-Stokes ) viene dada por: ${\displaystyle Re\ll 1}$

$${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }}$$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$es el campo vectorial de velocidad del fluido,
• ${\displaystyle p}$es el campo de presión del fluido,
• ${\displaystyle \mu }$es la viscosidad del líquido/fluido .

La solución analítica para el flujo rastrero alrededor de una esfera fue dada por primera vez por Stokes en 1851. ^[10] A partir de la solución de Stokes, la fuerza de arrastre que actúa sobre la esfera de diámetro se puede obtener como ${\displaystyle d}$

donde el número de Reynolds, . La expresión para la fuerza de arrastre dada por la ecuación ( 6 ) se llama ley de Stokes . ${\displaystyle Re={\frac {\rho d}{\mu }}V}$

Cuando se sustituye el valor de en la ecuación ( 5 ), obtenemos la expresión para la velocidad terminal de un objeto esférico que se mueve en condiciones de flujo progresivo: ^[11] ${\displaystyle C_{d}}$

$${\displaystyle V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right),}$$¿Dónde está la densidad del objeto? ${\displaystyle \rho _{s}}$

Aplicaciones

Los resultados del flujo progresivo se pueden aplicar para estudiar la sedimentación cerca del fondo del océano y la caída de gotas de humedad en la atmósfera. El principio también se aplica en el viscosímetro de esfera descendente , un dispositivo experimental utilizado para medir la viscosidad de fluidos altamente viscosos, por ejemplo, petróleo, parafina, alquitrán, etc.

Velocidad terminal en presencia de fuerza de flotabilidad

Velocidad de sedimentación Ws _de un grano de arena (diámetro d, densidad 2650 kg/m3 ⁾ en agua a 20 °C, calculada con la fórmula de Soulsby (1997).

Si se tienen en cuenta los efectos de flotabilidad, un objeto que cae a través de un fluido por su propio peso puede alcanzar una velocidad terminal (velocidad de sedimentación) si la fuerza neta que actúa sobre el objeto se vuelve cero. Cuando se alcanza la velocidad terminal, el peso del objeto se equilibra exactamente con la fuerza de flotabilidad ascendente y la fuerza de arrastre.

dónde

• ${\displaystyle W}$es el peso del objeto,
• ${\displaystyle F_{b}}$es la fuerza de flotabilidad que actúa sobre el objeto, y
• ${\displaystyle D}$es la fuerza de arrastre que actúa sobre el objeto.

Si el objeto que cae tiene forma esférica, la expresión para las tres fuerzas se da a continuación:

dónde

• ${\displaystyle d}$es el diámetro del objeto esférico,
• ${\displaystyle g}$es la aceleración gravitacional,
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido,
• ${\displaystyle \rho _{s}}$es la densidad del objeto,
• ${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\pi d^{2}}$es el área proyectada de la esfera,
• ${\displaystyle C_{d}}$es el coeficiente de arrastre, y
• ${\displaystyle V}$es la velocidad característica (tomada como velocidad terminal, ). ${\displaystyle V_{t}}$

Sustituyendo las ecuaciones ( 2 – 4 ) en la ecuación ( 1 ) y despejando la velocidad terminal, obtenemos la siguiente expresión ${\displaystyle V_{t}}$

En la ecuación ( 1 ), se supone que el objeto es más denso que el fluido. En caso contrario, el signo de la fuerza de arrastre debe ser negativo, ya que el objeto se moverá hacia arriba, en contra de la gravedad. Algunos ejemplos son las burbujas que se forman en el fondo de una copa de champán y los globos de helio. La velocidad terminal en tales casos tendrá un valor negativo, que corresponde a la velocidad de ascenso.

Véase también

• Ley de Stokes
• Balística terminal

Referencias

1. "6.4 Fuerza de arrastre y velocidad terminal - Física universitaria, volumen 1 | OpenStax". openstax.org . 19 de septiembre de 2016 . Consultado el 15 de julio de 2023 .
2. Riazi, A.; Türker, U. (enero de 2019). "El coeficiente de arrastre y la velocidad de sedimentación de partículas de sedimentos naturales". Mecánica computacional de partículas . 6 (3): 427–437. Bibcode :2019CPM.....6..427R. doi :10.1007/s40571-019-00223-6. S2CID  127789299.
3. Huang, Jian (1998). Elert, Glenn (ed.). "Velocidad de un paracaidista (velocidad terminal)". The Physics Factbook . Consultado el 25 de enero de 2022 .
4. "Todo sobre el halcón peregrino". Servicio de Pesca y Vida Silvestre de Estados Unidos. 20 de diciembre de 2007. Archivado desde el original el 8 de marzo de 2010.
5. The Ballistician (marzo de 2001). "Balas en el cielo". W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston, Texas 77089. Archivado desde el original el 31 de marzo de 2008.
6. Garbino, Alejandro; Blue, Rebecca S.; Pattarini, James M.; Law, Jennifer; Clark, Jonathan B. (febrero de 2014). "Monitoreo fisiológico y análisis de un programa de prueba de globos estratosféricos tripulados". Medicina de la aviación, el espacio y el medio ambiente . 85 (2): 177–178. doi : 10.3357/ASEM.3744.2014 . PMID  24597163.
7. Haldane, JBS (marzo de 1926). "Sobre tener la talla adecuada". Revista Harper's . Vol. Marzo de 1926. Archivado desde el original el 15 de abril de 2015.URL alternativa
8. Cousens, Roger; Dytham, Calvin; Law, Richard (2008). Dispersión en plantas: una perspectiva poblacional. Oxford University Press . págs. 26-27. ISBN 978-0-19-929911-9.
9. Massel, Stanisław R. (1999). Mecánica de fluidos para ecólogos marinos. Springer Science+Business Media . p. 22. doi :10.1007/978-3-642-60209-2. ISBN 978-3-642-60209-2.
10. Stokes, GG (1851). "Sobre el efecto de la fricción interna de los fluidos en el movimiento de los péndulos". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 9, parte ii: 8–106. Bibcode :1851TCaPS...9....8S. La fórmula para la velocidad terminal ( V )] aparece en la p. [52], ecuación (127).
11. Lamb, H. (1994). Hidrodinámica (6.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 599. ISBN 978-0-521-45868-9.Publicada originalmente en 1879, la sexta edición ampliada apareció por primera vez en 1932.

Enlaces externos

• Herramienta interactiva de velocidad terminal - Sitio de la NASA, Guía para principiantes de aeronáutica
• Video a bordo de los cohetes propulsores sólidos del transbordador espacial desacelerando rápidamente hasta alcanzar la velocidad terminal al ingresar a la atmósfera más espesa, desde 2900 millas por hora (Mach 3,8) a las 5:15 del video, hasta 220 mph a las 6:45 cuando se despliegan los paracaídas 90 segundos después. Video y sonido de la NASA, @ io9.com.
• Velocidad de asentamiento terminal de una esfera en todos los números de Reynolds realistas, según el enfoque de las tablas de Heywood.