Simulación de grandes remolinos

Modelo matemático de la turbulencia

Simulación de grandes remolinos de un campo de velocidad de gas turbulento .

La simulación de grandes remolinos ( LES , por sus siglas en inglés) es un modelo matemático de turbulencia que se utiliza en dinámica de fluidos computacional . Fue propuesto inicialmente en 1963 por Joseph Smagorinsky para simular corrientes de aire atmosférico, ^[1] y explorado por primera vez por Deardorff (1970). ^[2] La LES se aplica actualmente en una amplia variedad de aplicaciones de ingeniería, incluidas la combustión , ^[3] la acústica, ^[4] y las simulaciones de la capa límite atmosférica. ^[5]

La simulación de flujos turbulentos mediante la resolución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes requiere la resolución de una amplia gama de escalas de tiempo y longitud, todas las cuales afectan al campo de flujo. Esta resolución se puede lograr con simulación numérica directa (DNS), pero la DNS es costosa en términos computacionales y su costo impide la simulación de sistemas de ingeniería prácticos con geometría compleja o configuraciones de flujo, como chorros turbulentos, bombas, vehículos y trenes de aterrizaje.

La idea principal detrás de LES es reducir el costo computacional ignorando las escalas de longitud más pequeñas, que son las más costosas computacionalmente para resolver, a través del filtrado de paso bajo de las ecuaciones de Navier-Stokes. Este filtrado de paso bajo, que puede verse como un promedio temporal y espacial, elimina de manera efectiva la información de pequeña escala de la solución numérica. Sin embargo, esta información no es irrelevante y su efecto en el campo de flujo debe modelarse, una tarea que es un área activa de investigación para problemas en los que las escalas pequeñas pueden desempeñar un papel importante, como flujos cercanos a la pared ^{[6] [7]} , flujos reactivos ^{[3] y flujos multifásicos [8]} .

Definición y propiedades del filtro

Un campo de velocidad producido por una simulación numérica directa (DNS) de turbulencia homogénea en descomposición . El tamaño del dominio es . ${\displaystyle L^{3}}$

El mismo campo de velocidad DNS filtrado utilizando un filtro de caja y . ${\displaystyle \Delta =L/32}$

El mismo campo de velocidad DNS filtrado utilizando un filtro de caja y . ${\displaystyle \Delta =L/16}$

Un filtro LES se puede aplicar a un campo espacial y temporal y realizar una operación de filtrado espacial, una operación de filtrado temporal o ambas. El campo filtrado, indicado con una barra, se define como: ^{[9] [10]} ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle {\overline {\phi ({\boldsymbol {x}},t)}}=\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }}\int _{-\infty }^{\infty }\phi ({\boldsymbol {r}},\tau )G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},t-\tau )d\tau d{\boldsymbol {r}}}$

¿Dónde está el núcleo de convolución del filtro? Esto también se puede escribir como: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\overline {\phi }}=G\star \phi .}$

El núcleo de filtro tiene una escala de longitud de corte asociada y una escala de tiempo de corte . Las escalas más pequeñas que estas se eliminan de . Usando la definición de filtro anterior, cualquier campo se puede dividir en una porción filtrada y subfiltrada (indicada con una prima), como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\phi ^{\prime }.}$

Es importante tener en cuenta que la operación de filtrado de simulación de remolinos grandes no satisface las propiedades de un operador de Reynolds .

Ecuaciones de gobierno filtradas

Las ecuaciones que rigen el LES se obtienen filtrando las ecuaciones diferenciales parciales que rigen el campo de flujo . Existen diferencias entre las ecuaciones que rigen el LES incompresible y compresible, lo que lleva a la definición de una nueva operación de filtrado. ${\displaystyle \rho {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)}$

Flujo incompresible

Para el flujo incompresible, se filtran la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes, obteniéndose la ecuación de continuidad incompresible filtrada,

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0}$

y las ecuaciones de Navier-Stokes filtradas,

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u_{i}u_{j}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij},}$

donde es el campo de presión filtrado y es el tensor de tasa de deformación evaluado utilizando la velocidad filtrada. El término de advección filtrada no lineal es la principal causa de dificultad en el modelado LES. Requiere conocimiento del campo de velocidad sin filtrar, que es desconocido, por lo que debe modelarse. El análisis que sigue ilustra la dificultad causada por la no linealidad, es decir, que causa interacción entre escalas grandes y pequeñas, impidiendo la separación de escalas. ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{ij}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}$

El término de advección filtrada se puede dividir, siguiendo a Leonard (1975), ^[11] como:

${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}=\tau _{ij}+{\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}}$

donde es el tensor de tensión residual, de modo que las ecuaciones de Navier-Stokes filtradas se convierten en ${\displaystyle \tau _{ij}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}}$

con el tensor de tensión residual agrupando todos los términos no cerrados. Leonard descompuso este tensor de tensión como y proporcionó interpretaciones físicas para cada término. , el tensor de Leonard, representa interacciones entre escalas grandes, , el término similar a la tensión de Reynolds, representa interacciones entre las escalas de subfiltro (SFS), y , el tensor de Clark, ^[12] representa interacciones entre escalas grandes y pequeñas. ^[11] Modelar el término no cerrado es la tarea de los modelos de escala de subcuadrícula (SGS). Esto se vuelve desafiante por el hecho de que el tensor de tensión de subcuadrícula debe dar cuenta de las interacciones entre todas las escalas, incluidas las escalas filtradas con escalas sin filtrar. ${\displaystyle \tau _{ij}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}=L_{ij}+C_{ij}+R_{ij}}$ ${\displaystyle L_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}$ ${\displaystyle R_{ij}={\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle C_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }}}+{\overline {{\bar {u}}_{j}u_{i}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}}$

La ecuación de gobierno filtrada para un escalar pasivo , como la fracción de mezcla o la temperatura, se puede escribir como ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{j}{\overline {\phi }}\right)={\frac {\partial {\overline {J_{\phi }}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial q_{j}}{\partial x_{j}}}}$

donde es el flujo difusivo de , y es el flujo de subfiltro para el escalar . El flujo difusivo filtrado no está cerrado, a menos que se suponga una forma particular para él, como un modelo de difusión de gradiente . se define de manera análoga a , ${\displaystyle J_{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\overline {J_{\phi }}}}$ ${\displaystyle J_{\phi }=D_{\phi }{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}}$

${\displaystyle q_{j}={\bar {\phi }}{\overline {u}}_{j}-{\overline {\phi u_{j}}}}$

y puede dividirse de manera similar en contribuciones de interacciones entre varias escalas. Este flujo de subfiltro también requiere un modelo de subfiltro.

Derivación

Utilizando la notación de Einstein , las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible en coordenadas cartesianas son

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Al filtrar la ecuación del momento se obtiene como resultado

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\overline {{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}}}+{\overline {\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}}.}$

Si asumimos que el filtrado y la diferenciación conmutan, entonces

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Esta ecuación modela los cambios en el tiempo de las variables filtradas . Como no se conocen las variables no filtradas, es imposible calcular directamente . Sin embargo, se conoce la cantidad. Se realiza una sustitución: ${\displaystyle {\bar {u_{i}}}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-\left({\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}-{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Sea . El conjunto de ecuaciones resultante son las ecuaciones LES: ${\displaystyle \tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}.}$

Ecuaciones de gobierno compresibles

Para las ecuaciones que rigen el flujo compresible, se filtra cada ecuación, comenzando por la conservación de la masa. Esto da:

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}\rho }}}{\partial x_{i}}}=0}$

lo que da como resultado un término de subfiltro adicional. Sin embargo, es deseable evitar tener que modelar las escalas de subfiltro de la ecuación de conservación de masa. Por esta razón, Favre ^[13] propuso una operación de filtrado ponderada por densidad, llamada filtrado de Favre, definida para una cantidad arbitraria como: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\tilde {\phi }}={\frac {\overline {\rho \phi }}{\overline {\rho }}}}$

que, en el límite de incompresibilidad, se convierte en la operación de filtrado normal. Esto hace que la ecuación de conservación de masa sea:

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0.}$

Este concepto puede luego extenderse para escribir la ecuación de momento filtrada por Favre para flujo compresible. Siguiendo a Vreman: ^[14]

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}{\tilde {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial {\tilde {\sigma }}_{ij}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial {\overline {\rho }}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)}$

donde es el tensor de esfuerzo cortante , dado para un fluido newtoniano por: ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{ij}=2\mu (T)S_{ij}-{\frac {2}{3}}\mu (T)\delta _{ij}S_{kk}}$

y el término representa una contribución viscosa del subfiltro a partir de la evaluación de la viscosidad utilizando la temperatura filtrada por Favre . El tensor de tensión de la subcuadrícula para el campo de momento filtrado por Favre se da por ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)}$ ${\displaystyle \mu (T)}$ ${\displaystyle {\tilde {T}}}$

${\displaystyle \tau _{ij}^{r}={\widetilde {u_{i}\cdot u_{j}}}-{\tilde {u_{i}}}{\tilde {u_{j}}}}$

Por analogía, la descomposición de Leonard también puede escribirse para el tensor de tensión residual para un producto triple filtrado . El producto triple puede reescribirse utilizando el operador de filtrado de Favre como , que es un término no cerrado (requiere conocimiento de los campos y , cuando solo se conocen los campos y ). Puede descomponerse de manera análoga a la anterior, lo que da como resultado un tensor de tensión de subfiltro . Este término de subfiltro puede dividirse en contribuciones de tres tipos de interacciones: el tensor de Leonard , que representa interacciones entre escalas resueltas; el tensor de Clark , que representa interacciones entre escalas resueltas y no resueltas; y el tensor de Reynolds , que representa interacciones entre escalas no resueltas. ^[15] ${\displaystyle {\overline {\rho \phi \psi }}}$ ${\displaystyle {\overline {\rho }}{\widetilde {\phi \psi }}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\rho }}\left({\widetilde {\phi \psi }}-{\tilde {\phi }}{\tilde {\psi }}\right)}$ ${\displaystyle L_{ij}}$ ${\displaystyle C_{ij}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$

Ecuación de energía cinética filtrada

Además de las ecuaciones de masa y momento filtradas, filtrar la ecuación de energía cinética puede brindar información adicional. El campo de energía cinética se puede filtrar para obtener la energía cinética total filtrada:

${\displaystyle {\overline {E}}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}}$

y la energía cinética total filtrada se puede descomponer en dos términos: la energía cinética del campo de velocidad filtrado , ${\displaystyle E_{f}}$

${\displaystyle E_{f}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}}$

y la energía cinética residual , ${\displaystyle k_{r}}$

${\displaystyle k_{r}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}-{\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}={\frac {1}{2}}\tau _{ii}^{r}}$

de tal manera que . ${\displaystyle {\overline {E}}=E_{f}+k_{r}}$

La ecuación de conservación para se puede obtener multiplicando la ecuación de transporte de momento filtrada por para obtener: ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial E_{f}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial E_{f}}{\partial x_{j}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}-2\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {S_{ij}}}}{\partial x_{j}}}=-\epsilon _{f}-\Pi }$

donde es la disipación de energía cinética del campo de velocidad filtrado por el estrés viscoso, y representa la disipación de energía cinética a escala de subfiltro (SFS). ${\displaystyle \epsilon _{f}=2\nu {\bar {S_{ij}}}{\bar {S_{ij}}}}$ ${\displaystyle \Pi =-\tau _{ij}^{r}{\bar {S_{ij}}}}$

Los términos del lado izquierdo representan el transporte, y los términos del lado derecho son términos de sumidero que disipan energía cinética. ^[9]

El término de disipación de SFS es de particular interés, ya que representa la transferencia de energía desde grandes escalas resueltas a pequeñas escalas no resueltas. En promedio, transfiere energía desde escalas grandes a escalas pequeñas. Sin embargo, instantáneamente puede ser positivo o negativo, lo que significa que también puede actuar como un término fuente para , la energía cinética del campo de velocidad filtrado. La transferencia de energía desde escalas no resueltas a escalas resueltas se denomina retrodispersión (y, de la misma manera, la transferencia de energía desde escalas resueltas a escalas no resueltas se denomina dispersión hacia adelante ). ^[16] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle E_{f}}$

Métodos numéricos para LES

La simulación de grandes remolinos implica la solución de las ecuaciones de gobierno filtradas discretas utilizando dinámica de fluidos computacional . LES resuelve escalas desde el tamaño del dominio hasta el tamaño del filtro y, como tal, se debe resolver una parte sustancial de las fluctuaciones turbulentas de alto número de onda. Esto requiere esquemas numéricos de alto orden o una resolución de cuadrícula fina si se utilizan esquemas numéricos de orden bajo. El capítulo 13 de Pope ^[9] aborda la cuestión de qué tan fina es la resolución de cuadrícula necesaria para resolver un campo de velocidad filtrado . Ghosal ^[17] encontró que para los esquemas de discretización de orden bajo, como los utilizados en los métodos de volumen finito, el error de truncamiento puede ser del mismo orden que las contribuciones de la escala del subfiltro, a menos que el ancho del filtro sea considerablemente mayor que el espaciado de la cuadrícula . Si bien los esquemas de orden par tienen un error de truncamiento, no son disipativos ^[18] y, debido a que los modelos de escala de subfiltro son disipativos, los esquemas de orden par no afectarán las contribuciones del modelo de escala de subfiltro tan fuertemente como los esquemas disipativos. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle {\overline {u}}({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta x}$

Implementación de filtros

La operación de filtrado en la simulación de grandes remolinos puede ser implícita o explícita. El filtrado implícito reconoce que el modelo de escala del subfiltro se disipará de la misma manera que muchos esquemas numéricos. De esta manera, se puede suponer que la cuadrícula, o el esquema de discretización numérica, es el filtro de paso bajo LES. Si bien esto aprovecha al máximo la resolución de la cuadrícula y elimina el costo computacional de calcular un término del modelo de escala del subfiltro, es difícil determinar la forma del filtro LES que está asociada con algunos problemas numéricos. Además, el error de truncamiento también puede convertirse en un problema. ^[19]

En el filtrado explícito, se aplica un filtro LES a las ecuaciones de Navier-Stokes discretizadas, lo que proporciona una forma de filtro bien definida y reduce el error de truncamiento. Sin embargo, el filtrado explícito requiere una cuadrícula más fina que el filtrado implícito, y el costo computacional aumenta con . El capítulo 8 de Sagaut (2006) cubre los aspectos numéricos del LES con mayor detalle. ^[10] ${\displaystyle (\Delta x)^{4}}$

Condiciones de contorno de simulaciones de grandes remolinos

Las condiciones de contorno de entrada afectan significativamente la precisión del LES, y el tratamiento de las condiciones de entrada para el LES es un problema complicado. En teoría, una buena condición de contorno para el LES debería contener las siguientes características: ^[20]

(1) proporcionar información precisa de las características del flujo, es decir, velocidad y turbulencia;

(2) satisfacer las ecuaciones de Navier-Stokes y otras leyes de la física;

(3) ser fácil de implementar y ajustar a diferentes casos.

Actualmente, los métodos de generación de condiciones de entrada para LES se dividen ampliamente en dos categorías clasificadas por Tabor et al.: ^[21]

El primer método para generar entradas turbulentas es sintetizarlas de acuerdo con casos particulares, como las técnicas de Fourier, la descomposición ortogonal de principios (POD) y los métodos de vórtice. Las técnicas de síntesis intentan construir un campo turbulento en las entradas que tengan propiedades adecuadas similares a las de la turbulencia y que faciliten la especificación de parámetros de la turbulencia, como la energía cinética turbulenta y la tasa de disipación turbulenta. Además, las condiciones de entrada generadas mediante el uso de números aleatorios son computacionalmente económicas. Sin embargo, el método existe un serio inconveniente. La turbulencia sintetizada no satisface la estructura física del flujo de fluidos gobernada por las ecuaciones de Navier-Stokes. ^[20]

El segundo método implica un cálculo separado y precursor para generar una base de datos turbulenta que se puede introducir en el cálculo principal en las entradas. La base de datos (a veces denominada "biblioteca") se puede generar de varias maneras, como dominios cíclicos, biblioteca preparada previamente y mapeo interno. Sin embargo, el método de generación de flujos de entrada turbulentos mediante simulaciones precursoras requiere una gran capacidad de cálculo.

Los investigadores que examinan la aplicación de varios tipos de cálculos sintéticos y precursores han descubierto que cuanto más realista sea la turbulencia de entrada, más precisos serán los resultados que predice el LES. ^[20]

Modelado de escalas no resueltas

Para analizar el modelado de escalas no resueltas, primero se deben clasificar las escalas no resueltas. Se dividen en dos grupos: escalas de subfiltro resueltas (SFS) y escalas de subcuadrícula (SGS).

Las escalas de subfiltro resueltas representan las escalas con números de onda mayores que el número de onda de corte , pero cuyos efectos son atenuados por el filtro. Las escalas de subfiltro resueltas solo existen cuando se utilizan filtros no locales en el espacio de onda (como un filtro de caja o gaussiano ). Estas escalas de subfiltro resueltas se deben modelar mediante la reconstrucción de filtros. ${\displaystyle k_{c}}$

Las escalas de subcuadrícula son todas las escalas que son más pequeñas que el ancho del filtro de corte . La forma del modelo SGS depende de la implementación del filtro. Como se mencionó en la sección Métodos numéricos para LES, si se considera LES implícito, no se implementa ningún modelo SGS y se supone que los efectos numéricos de la discretización imitan la física de los movimientos turbulentos no resueltos. ${\displaystyle \Delta }$

Modelos a escala de subcuadrícula

Sin una descripción universalmente válida de la turbulencia, se debe utilizar información empírica al construir y aplicar modelos SGS, complementados con restricciones físicas fundamentales como la invariancia galileana ^[9] . ^[22] Existen dos clases de modelos SGS: la primera clase son los modelos funcionales y la segunda clase son los modelos estructurales . Algunos modelos pueden clasificarse como ambos.

Modelos funcionales (viscosidad de vórtices)

Los modelos funcionales son más simples que los estructurales y se centran únicamente en la disipación de energía a una velocidad que es físicamente correcta. Se basan en un enfoque de viscosidad de remolino artificial, en el que los efectos de la turbulencia se agrupan en una viscosidad turbulenta. El enfoque trata la disipación de energía cinética a escalas inferiores a la de la red como algo análogo a la difusión molecular. En este caso, la parte desviatoria se modela como: ${\displaystyle \tau _{ij}}$

${\displaystyle \tau _{ij}^{r}-{\frac {1}{3}}\tau _{kk}\delta _{ij}=-2\nu _{\mathrm {t} }{\bar {S}}_{ij}}$

donde es la viscosidad del remolino turbulento y es el tensor de velocidad de deformación. ${\displaystyle \nu _{\mathrm {t} }}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$

Según el análisis dimensional, la viscosidad de remolino debe tener unidades de . La mayoría de los modelos SGS de viscosidad de remolino modelan la viscosidad de remolino como el producto de una escala de longitud característica y una escala de velocidad característica. ${\displaystyle \left[\nu _{\mathrm {t} }\right]={\frac {\mathrm {m^{2}} }{\mathrm {s} }}}$

Modelo de Smagorinsky-Lilly

El primer modelo SGS desarrollado fue el modelo Smagorinsky–Lilly SGS, que fue desarrollado por Smagorinsky ^[1] y utilizado en la primera simulación LES por Deardorff ^[2] . Modela la viscosidad de remolino como:

${\displaystyle \nu _{\mathrm {t} }=C\Delta ^{2}{\sqrt {2{\bar {S}}_{ij}{\bar {S}}_{ij}}}=C\Delta ^{2}\left|{\bar {S}}\right|}$

donde es el tamaño de la cuadrícula y es una constante. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle C}$

Este método supone que la producción y disipación de energía de las pequeñas escalas están en equilibrio, es decir, . ${\displaystyle \epsilon =\Pi }$

El modelo dinámico (Germano et al. y otros)

Germano et al. ^[23] identificaron una serie de estudios que utilizan el modelo de Smagorinsky, cada uno de los cuales encontró diferentes valores para la constante de Smagorinsky para diferentes configuraciones de flujo. En un intento por formular un enfoque más universal para los modelos SGS, Germano et al. propusieron un modelo Smagorinsky dinámico, que utilizaba dos filtros: un filtro LES de cuadrícula, denotado , y un filtro LES de prueba, denotado para cualquier campo turbulento . El filtro de prueba es de mayor tamaño que el filtro de cuadrícula y agrega un suavizado adicional del campo de turbulencia sobre los campos ya suavizados representados por el LES. La aplicación del filtro de prueba a las ecuaciones LES (que se obtienen aplicando el filtro de "cuadrícula" a las ecuaciones de Navier-Stokes) da como resultado un nuevo conjunto de ecuaciones que son idénticas en forma pero con la tensión SGS reemplazada por . Germano et al. observaron que, aunque ni ni pueden calcularse con exactitud debido a la presencia de escalas sin resolver, existe una relación exacta que conecta estos dos tensores. Esta relación, conocida como la identidad de Germano, se puede evaluar aquí explícitamente, ya que implica solo las velocidades filtradas y la operación de filtrado de prueba. La importancia de la identidad es que si se supone que la turbulencia es autosimilar de modo que la tensión SGS en los niveles de rejilla y de prueba tienen la misma forma y , entonces la identidad de Germano proporciona una ecuación a partir de la cual se puede determinar potencialmente el coeficiente de Smagorinsky (que ya no es una "constante"). [El procedimiento incluye la suposición de que el coeficiente es invariante de escala (véase la revisión ^[24] )]. Para ello, se introdujeron dos pasos adicionales en la formulación original. En primer lugar, se supuso que, aunque en principio era variable, la variación era lo suficientemente lenta como para que se pudiera sacar de la operación de filtrado . En segundo lugar, dado que era un escalar, la identidad de Germano se contrajo con un tensor de segundo rango (se eligió el tensor de tasa de deformación) para convertirlo en una ecuación escalar a partir de la cual se pudiera determinar. Lilly ^[25] encontró un enfoque menos arbitrario y, por lo tanto, más satisfactorio para obtener C a partir de la identidad tensorial. Observó que la identidad de Germano requería la satisfacción de nueve ecuaciones en cada punto del espacio (de las cuales solo cinco son independientes) para una sola cantidad . Por lo tanto, el problema de obtener estaba sobredeterminado. Propuso, por lo tanto, que se determinara utilizando un ajuste de mínimos cuadrados minimizando los residuos. Esto da como resultado ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}$ ${\displaystyle T_{ij}={\widehat {\overline {u_{i}u_{j}}}}-{\hat {\bar {u}}}_{i}{\hat {\bar {u}}}_{j}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}}$ ${\displaystyle T_{ij}}$ ${\displaystyle L_{ij}=T_{ij}-{\hat {\tau }}_{ij}.}$ ${\displaystyle L_{ij}={\widehat {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\widehat {{\bar {u}}_{i}}}{\widehat {{\bar {u}}_{j}}}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}-(\tau _{kk}/3)\delta _{ij}=-2C\Delta ^{2}|{\bar {S}}_{ij}|{\bar {S}}_{ij}}$ ${\displaystyle T_{ij}-(T_{kk}/3)\delta _{ij}=-2C{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C={\frac {L_{ij}m_{ij}}{m_{kl}m_{kl}}}.}$

Aquí

${\displaystyle m_{ij}=\alpha _{ij}-{\widehat {\beta }}_{ij}}$

y para abreviar , los intentos iniciales de implementar el modelo en simulaciones LES resultaron infructuosos. Primero, el coeficiente calculado no era en absoluto "de variación lenta" como se suponía y variaba tanto como cualquier otro campo turbulento. En segundo lugar, el calculado podía ser tanto positivo como negativo. Este último hecho en sí mismo no debería considerarse una deficiencia, ya que las pruebas a priori que utilizan campos DNS filtrados han demostrado que la tasa de disipación de submalla local en un campo turbulento es casi tan probable que sea negativa como positiva, aunque la integral sobre el dominio del fluido siempre es positiva, lo que representa una disipación neta de energía en las grandes escalas. Una ligera preponderancia de valores positivos en oposición a la positividad estricta de la viscosidad de remolino da como resultado la disipación neta observada. Esta denominada "retrodispersión" de energía de escalas pequeñas a grandes corresponde de hecho a valores C negativos en el modelo de Smagorinsky. Sin embargo, se encontró que la formulación de Germano-Lilly no daba como resultado cálculos estables. Se adoptó una medida ad hoc promediando el numerador y el denominador en direcciones homogéneas (cuando tales direcciones existen en el flujo). ${\displaystyle \alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}}$ ${\displaystyle \beta _{ij}=-2\Delta ^{2}|{\bar {S}}|{\bar {S}}_{ij}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle -\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}}$

${\displaystyle C={\frac {\left\langle L_{ij}m_{ij}\right\rangle }{\left\langle m_{kl}m_{kl}\right\rangle }}.}$

Cuando el promedio incluía una muestra estadística lo suficientemente grande como para que el resultado calculado fuera positivo (o al menos, rara vez negativo), era posible realizar cálculos estables. El simple hecho de establecer los valores negativos en cero (un procedimiento llamado "recorte") con o sin el promedio también daba como resultado cálculos estables. Meneveau propuso ^[26] un promedio sobre trayectorias de fluidos lagrangianos con una "memoria" que decae exponencialmente. Esto se puede aplicar a problemas que carecen de direcciones homogéneas y puede ser estable si el tiempo efectivo durante el cual se realiza el promedio es lo suficientemente largo y, sin embargo, no tan largo como para suavizar las inhomogeneidades espaciales de interés. ${\displaystyle C}$

La modificación de Lilly del método de Germano seguida de un promedio estadístico o eliminación sintética de las regiones de viscosidad negativa parece ad hoc, incluso si se pudiera hacer que "funcionara". Ghosal et al. sugirieron una formulación alternativa del procedimiento de minimización de mínimos cuadrados conocida como "modelo de localización dinámica" (DLM) ^[27] . En este enfoque, primero se define una cantidad

${\displaystyle E_{ij}=L_{ij}-T_{ij}+{\hat {\tau }}_{ij}}$

con los tensores y reemplazados por el modelo SGS apropiado. Este tensor representa entonces la cantidad en la que el modelo de subcuadrícula no respeta la identidad de Germano en cada ubicación espacial. En el enfoque de Lilly, se extrae del sombrero el operador ${\displaystyle \tau _{ij}}$ ${\displaystyle T_{ij}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}}$

haciendo una función algebraica de la cual se determina entonces exigiendo que considerada como una función de C tenga el menor valor posible. Sin embargo, dado que la así obtenida resulta ser tan variable como cualquier otra cantidad fluctuante en turbulencia, la suposición original de la constancia de no puede justificarse a posteriori. En el enfoque DLM se evita esta inconsistencia al no invocar el paso de eliminar C de la operación de filtrado de prueba. En cambio, se define un error global sobre todo el dominio de flujo por la cantidad ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E_{ij}E_{ij}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle E[C]=\int E_{ij}E_{ij}dV}$

donde la integral se extiende sobre todo el volumen del fluido. Este error global es entonces una función de la función que varía espacialmente (aquí el instante de tiempo, , es fijo y por lo tanto aparece simplemente como un parámetro) que se determina de manera que minimice esta función. La solución a este problema variacional es que debe satisfacer una ecuación integral de Fredholm de segunda clase ${\displaystyle E[C(x,y,z,t)]}$ ${\displaystyle C(x,y,z,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}}$

donde las funciones y se definen en términos de los campos resueltos y, por lo tanto, se conocen en cada paso de tiempo y los rangos integrales en todo el dominio del fluido. La ecuación integral se resuelve numéricamente mediante un procedimiento de iteración y se encontró que la convergencia era generalmente rápida si se usaba con un esquema de preacondicionamiento. Aunque este enfoque variacional elimina una inconsistencia inherente en el enfoque de Lilly, la obtenida a partir de la ecuación integral aún mostraba la inestabilidad asociada con las viscosidades negativas. Esto se puede resolver insistiendo en que se minimice sujeto a la restricción . Esto conduce a una ecuación para que es no lineal ${\displaystyle K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})}$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle L_{ij},\alpha _{ij},\beta _{ij}}$ ${\displaystyle C(x,y,z,t)}$ ${\displaystyle E[C]}$ ${\displaystyle C(x,y,z,t)\geq 0}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C({\boldsymbol {x}})=\left[f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}\right]_{+}}$

Aquí el sufijo + indica la "parte positiva de", es decir, . Aunque superficialmente esto parece un "recorte", no es un esquema ad hoc sino una solución genuina del problema variacional restringido. Se encontró que este modelo DLM(+) era estable y arrojó resultados excelentes para turbulencia isotrópica forzada y decreciente, flujos de canal y una variedad de otras geometrías más complejas. Si resulta que un flujo tiene direcciones homogéneas (digamos las direcciones x y z), entonces se puede introducir el ansatz . El enfoque variacional produce inmediatamente el resultado de Lilly con un promedio sobre direcciones homogéneas sin necesidad de modificaciones ad hoc de un resultado previo. ${\displaystyle x_{+}=(x+|x|)/2}$ ${\displaystyle C=C(y,t)}$

Una deficiencia del modelo DLM(+) era que no describía la retrodispersión, que se sabe que es una "cosa" real a partir del análisis de datos DNS. Se desarrollaron dos enfoques para abordar esto. En un enfoque debido a Carati et al. ^[28], se agrega una fuerza fluctuante con amplitud determinada por el teorema de fluctuación-disipación en analogía con la teoría de Landau de hidrodinámica fluctuante. En el segundo enfoque, se observa que cualquier energía "retrodispersada" aparece en las escalas resueltas solo a expensas de la energía en las escalas de submalla. El DLM se puede modificar de una manera simple para tener en cuenta este hecho físico de modo de permitir la retrodispersión y al mismo tiempo ser inherentemente estable. Esta versión de ecuación k del DLM, DLM(k), reemplaza en el modelo de viscosidad de remolino de Smagorinsky por como una escala de velocidad apropiada. El procedimiento para determinar sigue siendo idéntico a la versión "sin restricciones", excepto que los tensores , donde la energía cinética de la escala de subprueba K está relacionada con la energía cinética de la escala de submalla k por (sigue tomando la traza de la identidad de Germano). Para determinar k ahora usamos una ecuación de transporte ${\displaystyle \Delta |{\bar {S}}|}$ ${\displaystyle {\sqrt {k}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {K}}{\hat {\bar {S}}}_{ij}}$ ${\displaystyle \beta _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {k}}{\bar {S}}_{ij}}$ ${\displaystyle K=k+L_{ii}/2}$

${\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}=-\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {C_{*}}{\Delta }}k^{3/2}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(D\Delta {\sqrt {k}}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}\right)+\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}$

donde es la viscosidad cinemática y son coeficientes positivos que representan la disipación y difusión de energía cinética respectivamente. Estos pueden determinarse siguiendo el procedimiento dinámico con minimización restringida como en DLM(+). Este enfoque, aunque más costoso de implementar que el DLM(+), se encontró que era estable y dio como resultado un buen acuerdo con los datos experimentales para una variedad de flujos probados. Además, es matemáticamente imposible que el DLM(k) dé como resultado un cálculo inestable ya que la suma de las energías de gran escala y SGS no aumenta por construcción. Ambos enfoques que incorporan retrodispersión funcionan bien. Producen modelos que son ligeramente menos disipativos con un rendimiento algo mejorado sobre el DLM(+). El modelo DLM(k) produce además la energía cinética de submalla, que puede ser una cantidad física de interés. Estas mejoras se logran a un costo algo mayor en la implementación del modelo. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle C_{*},D}$

El modelo dinámico se originó en el Programa de verano de 1990 del Centro de Investigación de Turbulencias (CTR) de la Universidad de Stanford . Una serie de seminarios "CTR-Tea" celebraron el 30.º aniversario de este importante hito en el modelado de turbulencias. Archivado el 30 de octubre de 2022 en Wayback Machine .

Modelos estructurales

Véase también

• Simulación numérica directa
• Mecánica de fluidos
• Invariancia galileana : una propiedad importante de ciertos tipos de filtros
• Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds
• Turbulencia

Lectura adicional

• Heus, T.; van Heerwaarden, CC; Jonker, HJJ; Pier Siebesma, A.; Axelsen, S. «Formulación de la simulación atmosférica de grandes remolinos holandesa (DALES) y descripción general de sus aplicaciones»  Geoscientific Model Development , 3, 2, 30-09-2010, pág. 415–444. DOI: 10.5194/gmd-3-415-2010. ISSN: 1991-9603.

Referencias

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