Filtro (simulación de grandes remolinos)

El filtrado en el contexto de la simulación de grandes remolinos (LES) es una operación matemática destinada a eliminar un rango de escalas pequeñas de la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes . Debido a que la principal dificultad en la simulación de flujos turbulentos proviene del amplio rango de escalas de longitud y tiempo, esta operación hace que la simulación de flujo turbulento sea más barata al reducir el rango de escalas que se deben resolver. La operación de filtrado LES es de paso bajo, lo que significa que filtra las escalas asociadas con frecuencias altas.

Filtros homogéneos

Un campo de velocidad producido por una simulación numérica directa (DNS) de turbulencia homogénea en descomposición . El tamaño del dominio es L ³ .

El mismo campo de velocidad DNS filtrado utilizando un filtro de caja y Δ = L /32

El mismo campo de velocidad DNS filtrado utilizando un filtro de caja y Δ = L /16

Definición en el espacio físico

La operación de filtrado de paso bajo utilizada en LES se puede aplicar a un campo espacial y temporal, por ejemplo . La operación de filtrado LES puede ser espacial, temporal o ambas. El campo filtrado, indicado con una barra, se define como: ^{[1] [2]} ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle {\overline {\phi ({\boldsymbol {x}},t)}}=\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }}\int _{-\infty }^{\infty }\phi ({\boldsymbol {r}},t^{\prime })G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},t-t^{\prime })dt^{\prime }d{\boldsymbol {r}},}$

donde es un núcleo de convolución exclusivo del tipo de filtro utilizado. Esto se puede escribir como una operación de convolución: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\overline {\phi }}=G\star \phi .}$

El núcleo del filtro utiliza escalas de longitud de corte y de tiempo, denotadas con y respectivamente. Las escalas más pequeñas que estas se eliminan de Usando esta definición, cualquier campo puede dividirse en una porción filtrada y una subfiltrada (denotada con una prima), como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \tau _{c},}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}.}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\phi ^{\prime }.}$

Esto también se puede escribir como una operación de convolución,

${\displaystyle \phi ^{\prime }=\left(1-G\right)\star \phi .}$

Definición en el espacio espectral

La operación de filtrado elimina las escalas asociadas con frecuencias altas y, en consecuencia, la operación puede interpretarse en el espacio de Fourier . Para un campo escalar, la transformada de Fourier de es una función del número de onda espacial y la frecuencia temporal. puede filtrarse mediante la transformada de Fourier correspondiente del núcleo del filtro, denotado ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t),}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}({\boldsymbol {k}},\omega ),}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}},}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}},\omega ):}$

${\displaystyle {\overline {\hat {\phi }}}({\boldsymbol {k}},\omega )={\hat {\phi }}({\boldsymbol {k}},\omega ){\hat {G}}({\boldsymbol {k}},\omega )}$

o,

${\displaystyle {\overline {\hat {\phi }}}={\hat {G}}{\hat {\phi }}.}$

El ancho del filtro tiene un número de onda de corte asociado y el ancho del filtro temporal también tiene una frecuencia de corte asociada. La parte sin filtrar de es: ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle k_{c},}$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{c}.}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$

${\displaystyle {\hat {\phi ^{\prime }}}=(1-{\hat {G}}){\hat {\phi }}.}$

La interpretación espectral de la operación de filtrado es esencial para la simulación de grandes remolinos, ya que los espectros de flujos turbulentos son fundamentales para los modelos de escala de submalla LES, que reconstruyen el efecto de las escalas de subfiltro (las frecuencias más altas). Uno de los desafíos en el modelado de submallas es imitar de manera efectiva la cascada de energía cinética de frecuencias bajas a altas. Esto hace que las propiedades espectrales del filtro LES implementado sean muy importantes para los esfuerzos de modelado de submallas.

Propiedades de un filtro homogéneo

Los filtros LES homogéneos deben satisfacer el siguiente conjunto de propiedades cuando se aplican a las ecuaciones de Navier-Stokes. ^[1]

1. Conservación de constantes

El valor de una constante filtrada debe ser igual a la constante,

${\displaystyle {\overline {a}}=a,}$

Lo que implica,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G({\boldsymbol {\xi }},t^{\prime })d^{3}{\boldsymbol {\xi }}dt^{\prime }=1.}$

2. Linealidad

${\displaystyle {\overline {\phi +\psi }}={\overline {\phi }}+{\overline {\psi }}.}$

3. Conmutación con derivadas

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial \phi }{\partial s}}}={\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial s}},\qquad s={\boldsymbol {x}},t.}$

Si se introduce la notación para la conmutación de operadores para dos operadores arbitrarios y , donde ${\displaystyle [f,g]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle [f,g]\phi =f\circ g(\phi )-g\circ f(\phi )=f(g(\phi ))-g(f(\phi )),}$

Entonces esta tercera propiedad se puede expresar como

${\displaystyle \left[G\star ,{\frac {\partial }{\partial s}}\right]=0.}$

Los filtros que satisfacen estas propiedades generalmente no son operadores de Reynolds , es decir, primero:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\overline {\overline {\phi }}}&\neq &{\overline {\phi }},\\G\star G\star \phi =G^{2}\star \phi &\neq &G\star \phi ,\end{array}}}$

y segundo,

${\displaystyle {\overline {\phi ^{\prime }}}=G\star (1-G)\star \phi \neq 0.}$

Filtros no homogéneos

Las implementaciones de operaciones de filtrado para todos los flujos, excepto los más simples, son operaciones de filtrado no homogéneas. Esto significa que el flujo tiene límites no periódicos, lo que causa problemas con ciertos tipos de filtros, o tiene un ancho de filtro no constante , o ambos. Esto evita que el filtro conmute con derivadas, y la operación de conmutación conduce a varios términos de error adicionales: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left[{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}},G\star \right]\phi &=&{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\left(G\star \phi \right)-G\star {\frac {\partial \phi }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\\&=&{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\int _{\Omega }G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},\Delta ({\boldsymbol {x}},t))\phi ({\boldsymbol {r}},t)d{\boldsymbol {r}}-G\star {\frac {\partial \phi }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\\&=&\left({\frac {\partial G}{\partial \Delta }}\star \phi \right){\frac {\partial \Delta }{\partial x}}+\int _{d\Omega }G(x-r,\Delta (x,t))\phi (r,t){\boldsymbol {n}}dS\end{array}},}$

donde es el vector normal a la superficie del límite y ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\Omega .}$

Ambos términos aparecen debido a inhomogeneidades. El primero se debe a la variación espacial del tamaño del filtro , mientras que el segundo se debe al límite del dominio. De manera similar, la conmutación del filtro con la derivada temporal conduce a un término de error resultante de la variación temporal del tamaño del filtro. ${\displaystyle \Delta ,}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}},G\star \right]=\left({\frac {\partial G}{\partial \Delta }}\star \phi \right){\frac {\partial \Delta }{\partial t}}.}$

Se han propuesto varias operaciones de filtrado que eliminan o minimizan estos términos de error. ^{[ cita requerida ]}

Filtros clásicos de simulación de grandes remolinos

Espectro de energía turbulenta y efecto de las operaciones de filtrado ^[3]

Existen tres filtros que se utilizan habitualmente para el filtrado espacial en la simulación de grandes remolinos. Se proporciona la definición de y y un análisis de las propiedades importantes. ^[2] ${\displaystyle G({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}},\omega ),}$

Filtro de caja

Filtro de caja en el espacio físico y espectral

El núcleo del filtro en el espacio físico viene dado por:

${\displaystyle G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})={\begin{cases}{\frac {1}{\Delta }},&{\text{if}}\left|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}\right|\leq {\frac {\Delta }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

El núcleo del filtro en el espacio espectral viene dado por:

${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}})={\frac {\sin {({\frac {1}{2}}k\Delta )}}{{\frac {1}{2}}k\Delta }}.}$

Filtro gaussiano en el espacio físico y espectral

Filtro gaussiano

El núcleo del filtro en el espacio físico viene dado por:

${\displaystyle G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})=\left({\frac {6}{\pi \Delta ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left(-{\frac {6({\boldsymbol {x-r}})^{2}}{\Delta ^{2}}}\right)}.}$

El núcleo del filtro en el espacio espectral viene dado por:

${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}})=\exp {\left(-{\frac {{\boldsymbol {k}}^{2}\Delta ^{2}}{24}}\right)}.}$

Filtro espectral nítido en el espacio físico y espectral

Filtro espectral nítido

El núcleo del filtro en el espacio físico viene dado por:

${\displaystyle G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})={\frac {\sin {(\pi ({\boldsymbol {x-r}})/\Delta )}}{\pi ({\boldsymbol {x-r}})}}.}$

El núcleo del filtro en el espacio espectral viene dado por:

${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}})=H\left(k_{c}-\left|k\right|\right),\qquad k_{c}={\frac {\pi }{\Delta }}.}$

Véase también

• Dinámica de fluidos computacional
• Filtro (procesamiento de señales)
• Mecánica de fluidos
• Transformada de Fourier
• Dominio de frecuencia
• Simulación de grandes remolinos
• Turbulencia

Referencias

1. Sagaut, Pierre (2006). Simulación de grandes remolinos para flujos incompresibles (tercera edición). Springer. ISBN 3-540-26344-6.
2. Pope, Stephen (2000). Flujos turbulentos. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59886-6.
3. Laval, Jean-Philippe. "Notas de clase sobre DNS y LES para el programa de maestría internacional en turbulencia" (PDF) . Consultado el 27 de enero de 2020 .