Teorema de Stallings sobre extremos de grupos.

En el tema matemático de la teoría de grupos , el teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos establece que un grupo finitamente generado tiene más de un extremo si y sólo si el grupo admite una descomposición no trivial como un producto libre amalgamado o una extensión HNN sobre un subgrupo finito . En el lenguaje moderno de la teoría de Bass-Serre, el teorema dice que un grupo finitamente generado tiene más de un extremo si y sólo si admite una acción no trivial (es decir, sin un punto fijo global) sobre un árbol simplicial con estabilizadores de borde finitos y sin inversiones de aristas. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

El teorema fue demostrado por John R. Stallings , primero en el caso sin torsión (1968) ^[1] y luego en el caso general (1971). ^[2]

Finales de gráficos

Sea un gráfico conexo donde el grado de cada vértice es finito. Se puede verlo como un espacio topológico dándole la estructura natural de un complejo celular unidimensional . Entonces los extremos de son los extremos de este espacio topológico. A continuación se presenta una definición más explícita del número de extremos de un gráfico para que esté completa. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Sea un número entero no negativo. Se dice que el gráfico satisface si para cada colección finita de aristas del gráfico tiene como máximo infinitas componentes conectadas . Por definición, si y si para cada afirmación es falsa. Por tanto , si es el entero no negativo más pequeño tal que . Si no existe un número entero tal que , ponga . El número se llama número de extremos de . ${\displaystyle n\geqslant 0}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma -F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e(\Gamma )=m}$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant m}$ ${\displaystyle 0\leqslant n<m}$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant n}$ ${\displaystyle e(\Gamma )=m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant n}$ ${\displaystyle n\geqslant 0}$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant n}$ ${\displaystyle e(\Gamma )=\infty }$ ${\displaystyle e(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Informalmente, es el número de "componentes conectados en el infinito" de . Si , entonces para cualquier conjunto finito de aristas de existe un conjunto finito de aristas de con tal que tiene exactamente infinitas componentes conectadas. Si , entonces para cualquier conjunto finito de aristas de y para cualquier número entero existe un conjunto finito de aristas de con tal que tenga al menos infinitos componentes conectados. ${\displaystyle e(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle e(\Gamma )=m<\infty }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F\subseteq K}$ ${\displaystyle \Gamma -F}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e(\Gamma )=\infty }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n\geqslant 0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F\subseteq K}$ ${\displaystyle \Gamma -K}$ ${\displaystyle n}$

Extremos de grupos

Sea un grupo finitamente generado . Sea un conjunto generador finito de y sea el gráfico de Cayley de con respecto a . El número de extremos de se define como . Un hecho básico en la teoría de fines de grupos dice que no depende de la elección de un conjunto generador finito de , por lo que está bien definido. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma (G,S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)=e(\Gamma (G,S))}$ ${\displaystyle e(\Gamma (G,S))}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)}$

Hechos básicos y ejemplos.

• Para un grupo finitamente generado tenemos si y sólo si es finito. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)=0}$ ${\displaystyle G}$
• Para el grupo cíclico infinito tenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle e(\mathbb {Z} )=2.}$
• Para el grupo abeliano libre de rango dos tenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle e(\mathbb {Z} ^{2})=1.}$
• Para un grupo gratis donde tenemos . ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle 1<|X|<\infty }$ ${\displaystyle e(F(X))=\infty }$

Teoremas de Freudenthal-Hopf

Hans Freudenthal ^[3] e independientemente Heinz Hopf ^[4] establecieron en la década de 1940 los dos hechos siguientes:

• Para cualquier grupo finitamente generado tenemos . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)\in \{0,1,2,\infty \}}$
• Para cualquier grupo finitamente generado tenemos si y solo si es virtualmente cíclico infinito (es decir, contiene un subgrupo cíclico infinito de índice finito ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)=2}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Charles TC Wall demostró en 1967 el siguiente hecho complementario: ^[5]

• Un grupo es virtualmente cíclico infinito si y sólo si tiene un subgrupo normal finito tal que sea cíclico infinito o diédrico infinito . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G/W}$

Cortes y conjuntos casi invariantes.

Sea un grupo generado finitamente , un conjunto generador finito de y sea el gráfico de Cayley de con respecto a . Para un subconjunto, denote por el complemento de in . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma =\Gamma (G,S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\subseteq G}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle G-A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$

Para un subconjunto , el límite de borde o el co-límite de consta de todos los bordes (topológicos) que conectan un vértice de con un vértice de . Tenga en cuenta que por definición . ${\displaystyle A\subseteq G}$ ${\displaystyle \delta A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \delta A=\delta A^{*}}$

Un par ordenado se llama corte si es finito. Un corte se llama esencial si tanto los conjuntos como son infinitos. ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \delta A}$ ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

Un subconjunto se llama casi invariante si para cada diferencia simétrica entre y es finita. Es fácil ver que hay un corte si y sólo si los conjuntos y son casi invariantes (de manera equivalente, si y sólo si el conjunto es casi invariante). ${\displaystyle A\subseteq G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Ag}$ ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$

cortes y terminaciones

Una observación simple pero importante dice:

${\displaystyle e(G)>1}$si y sólo si existe al menos un corte esencial en Γ. ${\displaystyle (A,A^{*})}$

Cortes y divisiones sobre grupos finitos.

Si donde y son grupos no triviales finitamente generados, entonces el gráfico de Cayley de tiene al menos un corte esencial y, por lo tanto , . De hecho, sean y conjuntos generadores finitos para y en consecuencia, de modo que sea un conjunto generador finito para y sea el gráfico de Cayley de con respecto a . Sea el elemento trivial y todos los elementos de cuya forma normal las expresiones for comienzan con un elemento no trivial de . Por lo tanto, consta de todos los elementos cuya forma normal las expresiones for comienzan con un elemento no trivial de . No es difícil ver que hay un corte esencial en Γ para que . ${\displaystyle G=H*K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)>1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S=X\cup Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma =\Gamma (G,S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=H*K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=H*K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle e(G)>1}$

Una versión más precisa de este argumento muestra que para un grupo generado finitamente : ${\displaystyle G}$

• Si es un producto libre con fusión donde es un grupo finito tal que y luego y se generan finitamente y . ${\displaystyle G=H*_{C}K}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\neq H}$ ${\displaystyle C\neq K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle e(G)>1}$
• Si es una extensión HNN donde , son subgrupos finitos isomórficos de entonces es un grupo generado finitamente y . ${\displaystyle G=\langle H,t|t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle }$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)>1}$

El teorema de Stallings muestra que lo contrario también es cierto.

Declaración formal del teorema de Stallings

Sea un grupo finitamente generado . ${\displaystyle G}$

Entonces si y sólo si se cumple una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle e(G)>1}$

• El grupo admite una escisión como producto libre con fusión donde es un grupo finito tal que y . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=H*_{C}K}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\neq H}$ ${\displaystyle C\neq K}$
• El grupo es una extensión HNN donde y son subgrupos finitos isomórficos de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\langle H,t|t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle }$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle H}$

En el lenguaje de la teoría de Bass-Serre , este resultado se puede reformular de la siguiente manera: para un grupo finitamente generado tenemos si y sólo si admite una acción no trivial (es decir, sin un vértice fijo global) sobre un árbol simplicial con estabilizadores de borde finitos. y sin inversiones de bordes. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)>1}$ ${\displaystyle G}$

Para el caso en el que hay un grupo finitamente generado sin torsión , el teorema de Stallings implica que si y sólo si admite una descomposición libre adecuada del producto con ambos y no triviales. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)=\infty }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=A*B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Aplicaciones y generalizaciones

• Entre las aplicaciones inmediatas del teorema de Stallings se encontraba la prueba de Stallings ^[6] de una conjetura de larga data de que todo grupo finitamente generado de dimensión cohomológica uno es libre y que todo grupo virtualmente libre libre de torsión es libre.
• El teorema de Stallings también implica que la propiedad de tener una división no trivial en un subgrupo finito es una invariante cuasiisométrica de un grupo finitamente generado, ya que el número de extremos de un grupo finitamente generado se ve fácilmente como un invariante cuasiisométrico. Por esta razón, el teorema de Stallings se considera uno de los primeros resultados de la teoría geométrica de grupos .
• El teorema de Stallings fue un punto de partida para la teoría de la accesibilidad de Dunwoody . Se dice que un grupo generado de forma finita es accesible si el proceso de división iterada no trivial de subgrupos finitos siempre termina en un número finito de pasos. En términos de la teoría de Bass-Serre , el número de aristas en una división reducida de como grupo fundamental de un gráfico de grupos con grupos de aristas finitos está limitado por alguna constante que depende de . Dunwoody demostró ^[7] que todo grupo presentado de forma finita es accesible pero que existen grupos generados de forma finita que no son accesibles. ^[8] Linnell ^[9] demostró que si se limita el tamaño de los subgrupos finitos sobre los cuales se realizan las divisiones, entonces todos los grupos finitamente generados también son accesibles en este sentido. Estos resultados, a su vez, dieron lugar a otras versiones de accesibilidad, como la accesibilidad Bestvina -Feighn ^[10] de grupos presentados finitamente (donde se consideran las denominadas divisiones "pequeñas"), la accesibilidad acilíndrica, ^{[11] [12]} la accesibilidad fuerte, ^[13] y otros. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• El teorema de Stallings es una herramienta clave para demostrar que un grupo generado finitamente es virtualmente libre si y sólo si puede representarse como el grupo fundamental de un grafo finito de grupos donde todos los grupos de vértices y aristas son finitos (ver, por ejemplo, ^{[14 ]} ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• Utilizando el resultado de accesibilidad de Dunwoody, el teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos y el hecho de que si es un grupo presentado finitamente con dimensión asintótica 1 entonces es virtualmente libre ^[15] se puede demostrar ^{[16] que para un} grupo hiperbólico de palabras presentado finitamente el grupo hiperbólico El límite de tiene dimensión topológica cero si y sólo si es prácticamente libre. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• También se han considerado versiones relativas del teorema de Stallings y extremos relativos de grupos finitamente generados con respecto a subgrupos. Para un subgrupo de un grupo generado finitamente, se define el número de extremos relativos como el número de extremos del gráfico relativo de Cayley (el gráfico lateral de Schreier ) con respecto a . El caso en el que se denomina semidivisión de más . Los primeros trabajos sobre semidivisiones, inspirados en el teorema de Stallings, fueron realizados en las décadas de 1970 y 1980 por Scott, ^[17] Swarup, ^[18] y otros. ^{[19] [20]} El trabajo de Sageev ^[21] y Gerasimov ^[22] en la década de 1990 mostró que para un subgrupo la condición corresponde al grupo que admite una acción isométrica esencial en una cúbica CAT(0) donde un subgrupo conmensurable con estabiliza un "hiperplano" esencial (un árbol simplicial es un ejemplo de cubo CAT(0) donde los hiperplanos son los puntos medios de los bordes). En determinadas situaciones, dicha semidivisión puede convertirse en una división algebraica real, normalmente sobre un subgrupo conmensurable con , como en el caso en el que es finito (teorema de Stallings). Otra situación en la que se puede obtener una división real (módulo con algunas excepciones) es para semidivisiones sobre subgrupos prácticamente policíclicos . Aquí, Scott-Swarup ^[23] y Bowditch trataron el caso de semidivisiones de grupos hiperbólicos de palabras en subgrupos de dos extremos (cíclicos prácticamente infinitos) . ^[24] El caso de semidivisiones de grupos finitamente generados con respecto a subgrupos prácticamente policíclicos se trata mediante el teorema algebraico del toro de Dunwoody-Swenson. ^[25] ${\displaystyle H\leqslant G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G,H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e(G,H)>1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\leqslant G}$ ${\displaystyle e(G,H)>1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

• Otros han obtenido varias nuevas demostraciones del teorema de Stallings después de la demostración original de Stallings. Dunwoody dio una prueba ^[26] basada en las ideas de cortes de bordes. Más tarde, Dunwoody también demostró el teorema de Stallings para grupos presentados finitamente utilizando el método de "pistas" en 2 complejos finitos. ^[7] Niblo obtuvo una prueba ^[27] del teorema de Stallings como consecuencia de la versión relativa de la cubización CAT(0) de Sageev, donde la cubización CAT(0) finalmente se promueve a ser un árbol. El artículo de Niblo también define una obstrucción teórica de grupo abstracta (que es una unión de clases laterales dobles de in ) para obtener una división real a partir de una semidivisión. También es posible demostrar el teorema de Stallings para grupos presentados finitamente utilizando técnicas de geometría de Riemann de superficies mínimas , donde primero se realiza un grupo presentado finitamente como el grupo fundamental de una variedad compacta (ver, por ejemplo, un bosquejo de este argumento en el artículo de estudio de Wall ^[28] ). Gromov esbozó una prueba (véanse las págs. 228-230 en ^[16] ) en la que el argumento de las superficies mínimas se reemplaza por un argumento de análisis armónico más sencillo y Kapovich impulsó este enfoque para cubrir el caso original de grupos generados de forma finita. ^{[15] [29]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 4}$

Ver también

• Producto gratuito con fusión.
• Extensión HNN
• Teoría de Bass-Serre
• Grafica de grupos
• Teoría de grupos geométricos

Notas

1. John R. Stallings. En grupos libres de torsión con infinitos extremos. Anales de Matemáticas (2), vol. 88 (1968), págs. 312–334
2. John Stallings. Teoría de grupos y variedades tridimensionales. Conferencia de matemáticas de James K. Whittemore impartida en la Universidad de Yale, 1969. Yale Mathematical Monographs, 4. Yale University Press, New Haven, Connecticut-Londres, 1971.
3. H. Freudenthal. Über die Enden diskreter Räume und Gruppen. Comentario. Matemáticas. Helv. 17, (1945). 1-38.
4. H. Hopf. Enden ofender Räume und unendliche diskontinuierliche Gruppen. Comentario. Matemáticas. Helv. 16, (1944). 81-100
5. Lema 4.1 en CTC Wall, Complejos de Poincaré: I. Annals of Mathematics, segunda serie, vol. 86, núm. 2 (septiembre de 1967), págs. 213-245
6. John R. Stallings. Los grupos de dimensión 1 son localmente libres. Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas, vol. 74 (1968), págs. 361–364
7. MJ Dunwoody. La accesibilidad de grupos presentados finitamente. Invenciones Mathematicae , vol. 81 (1985), núm. 3, págs. 449-457
8. MJ Dunwoody. Un grupo inaccesible . Teoría de grupos geométricos, vol. 1 (Sussex, 1991), págs. 75–78, Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 181, Cambridge University Press, Cambridge, 1993; ISBN  0-521-43529-3
9. PA Linnell. Sobre accesibilidad de los grupos. ^{[ enlace muerto ]} Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 30 (1983), núm. 1, págs. 39–46.
10. M. Bestvina y M. Feighn. Limitar la complejidad de acciones grupales simples sobre árboles. Invenciones Mathematicae , vol. 103 (1991), núm. 3, págs. 449–469
11. Z. Sela. Accesibilidad cilíndrica para grupos. Invenciones Mathematicae , vol. 129 (1997), núm. 3, págs. 527–565
12. T.Delzant. Sur l'accessibilité acylindrique des groupes de présentation finie. Archivado el 5 de junio de 2011 en la Wayback Machine Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier, vol. 49 (1999), núm. 4, págs. 1215-1224
13. T. Delzant y L. Potyagailo. Accesibilidad jerárquica de grupos de presentación finie. ^{[ enlace muerto ]} Topología , vol. 40 (2001), núm. 3, págs. 617–629
14. H. Bajo. Teoría de cobertura para gráficas de grupos. Revista de álgebra pura y aplicada, vol. 89 (1993), núm. 1-2, págs. 3-47
15. Gentimis Thanos, Dimensión asintótica de grupos presentados finitamente, http://www.ams.org/journals/proc/2008-136-12/S0002-9939-08-08973-9/home.html
16. M. Gromov, Grupos hiperbólicos, en "Ensayos sobre teoría de grupos" (GM Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, págs. 75-263
17. Peter Scott. Extremos de pares de grupos. ^{[ enlace muerto ]} Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 11 (1977/78), núm. 1–3, págs. 179–198
18. Cambio de GA. Versión relativa de un teorema de Stallings. ^{[ enlace muerto ]} Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 11 (1977/78), núm. 1–3, págs. 75–82
19. H. Müller. Teoremas de descomposición para pares de grupos. Mathematische Zeitschrift, vol. 176 (1981), núm. 2, págs. 223–246
20. PH Kropholler y MA Roller. Fines relativos y grupos de dualidad. ^{[ enlace muerto ]} Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 61 (1989), núm. 2, págs. 197-210
21. Michah Sageev. Extremos de pares de grupos y complejos de cubos con curvatura no positiva. Actas de la Sociedad Matemática de Londres (3), vol. 71 (1995), núm. 3, págs. 585–617
22. VN Gerasimov. Semidivisiones de grupos y acciones sobre cubizaciones. (en ruso) Álgebra, geometría, análisis y física matemática (Novosibirsk, 1996), págs. 91-109, 190, Izdat. Ross. Akád. Nauk Sib. Extraño. Inst. Mateo, Novosibirsk, 1997
23. GP Scott y GA Swarup. Un teorema del anillo algebraico. Archivado el 15 de julio de 2007 en la Wayback Machine Pacific Journal of Mathematics, vol. 196 (2000), núm. 2, págs. 461–506
24. BH Bowditch. Puntos de corte y escisiones canónicas de grupos hiperbólicos. Acta Mathematica , vol. 180 (1998), núm. 2, págs. 145–186
25. MJ Dunwoody y EL Swenson. El teorema algebraico del toroide. Invenciones Mathematicae , vol. 140 (2000), núm. 3, págs. 605–637
26. MJ Dunwoody. Recortar gráficos. Combinatoria, vol. 2 (1982), núm. 1, págs. 15-23
27. Graham A. Niblo. Una prueba geométrica del teorema de Stallings en grupos con más de un extremo. Geometriae Dedicata , vol. 105 (2004), págs. 61 a 76
28. Muro CTC. La geometría de los grupos abstractos y sus escisiones. Revista Matemática Complutense vol. 16(2003), núm. 1, págs. 5-101
29. M. Kapovich. Energía de funciones armónicas y prueba de Gromov del teorema de Stallings, preimpresión, 2007, arXiv:0707.4231