La geometría riemanniana fue propuesta por primera vez en general por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Se trata de una amplia gama de geometrías cuyas propiedades métricas varían de un punto a otro, incluidos los tipos estándar de geometría no euclidiana .
Existe una estrecha analogía entre la geometría diferencial y la estructura matemática de los defectos en cristales regulares. Las dislocaciones y disclinaciones producen torsiones y curvaturas. [2] [3]
Los siguientes artículos proporcionan material introductorio útil:
Lo que sigue es una lista incompleta de los teoremas más clásicos de la geometría de Riemann. La elección se realiza en función de su importancia y elegancia de formulación. La mayoría de los resultados se pueden encontrar en la monografía clásica de Jeff Cheeger y D. Ebin (ver más abajo).
Las formulaciones dadas están lejos de ser muy exactas o más generales. Esta lista está orientada a quienes ya conocen las definiciones básicas y quieren saber de qué tratan dichas definiciones.
En todos los siguientes teoremas asumimos algún comportamiento local del espacio (generalmente formulado usando el supuesto de curvatura) para derivar alguna información sobre la estructura global del espacio, incluyendo alguna información sobre el tipo topológico de la variedad o sobre el comportamiento de los puntos. a distancias "suficientemente grandes".
Teorema de la esfera . Si M es una variedad de Riemann n -dimensional compacta simplemente conectada con curvatura seccional estrictamente limitada entre 1/4 y 1, entonces M es difeomorfa a una esfera.
Teorema de finitud de Cheeger. Dadas las constantes C , D y V , solo hay un número finito (hasta el difeomorfismo) de variedades riemannianas n -dimensionales compactas con curvatura seccional | k | ≤ C , diámetro ≤ D y volumen ≥ V .
Las variedades casi planas de Gromov . Existe un ε n > 0 tal que si una variedad de Riemann n -dimensional tiene una métrica con curvatura seccional | k | ≤ ε n y diámetro ≤ 1 entonces su cobertura finita es difeomorfa a una variedad nula .
Curvatura seccional limitada por debajo
Teorema del alma de Cheeger-Gromoll . Si M es una variedad de Riemann de n dimensiones , curvada no negativamente, completa y no compacta , entonces M contiene una subvariedad S compacta y totalmente geodésica tal que M es difeomorfa del paquete normal de S ( S se llama alma de M ). En particular, si M tiene curvatura estrictamente positiva en todas partes, entonces es difeomorfo a R n . G. Perelman en 1994 dio una prueba sorprendentemente elegante y breve de la conjetura del alma: M es difeomorfo a R n si tiene curvatura positiva en un solo punto.
Teorema del número de Betti de Gromov. Hay una constante C = C ( n ) tal que si M es una variedad de Riemann n -dimensional compacta y conectada con curvatura seccional positiva, entonces la suma de sus números de Betti es como máximo C .
Teorema de finitud de Grove-Petersen. Dadas las constantes C , D y V , sólo hay un número finito de tipos de homotopía de variedades riemannianas n -dimensionales compactas con curvatura seccional K ≥ C , diámetro ≤ D y volumen ≥ V.
Curvatura seccional delimitada arriba
El teorema de Cartan-Hadamard establece que una variedad de Riemann M completa simplemente conectada con curvatura seccional no positiva es difeomorfa al espacio euclidiano R n con n = dim M a través del mapa exponencial en cualquier punto. Implica que dos puntos cualesquiera de una variedad de Riemann completa simplemente conectada con curvatura seccional no positiva están unidos por una geodésica única.
El flujo geodésico de cualquier variedad riemanniana compacta con curvatura seccional negativa es ergódico .
Si M es una variedad de Riemann completa con curvatura seccional limitada arriba por una constante k estrictamente negativa, entonces es un espacio CAT( k ) . En consecuencia, su grupo fundamental Γ = π 1 ( M ) es hiperbólico de Gromov . Esto tiene muchas implicaciones para la estructura del grupo fundamental:
La fórmula de Bochner . Si una variedad n de Riemann compacta tiene curvatura de Ricci no negativa, entonces su primer número de Betti es como máximo n , con igualdad si y solo si la variedad de Riemann es un toro plano.
Teorema de división . Si una variedad Riemanniana completa de n dimensiones tiene una curvatura de Ricci no negativa y una línea recta (es decir, una geodésica que minimiza la distancia en cada intervalo), entonces es isométrica a un producto directo de la línea real y una variedadde Riemann de dimensiones completas ( n -1). colector que tiene curvatura de Ricci no negativa.
Desigualdad de Bishop-Gromov . El volumen de una bola métrica de radio r en una variedad de Riemann n -dimensional completa con curvatura de Ricci positiva tiene un volumen como máximo el del volumen de una bola del mismo radio r en el espacio euclidiano.
Cualquier variedad suave de dimensión n ≥ 3 admite una métrica de Riemann con curvatura de Ricci negativa. [4] ( Esto no es cierto para las superficies ).
Curvatura escalar positiva
El toro de n dimensiones no admite una métrica con curvatura escalar positiva.
Si el radio de inyectividad de una variedad de Riemann n -dimensional compacta es ≥ π, entonces la curvatura escalar promedio es como máximo n ( n -1).
^ Kleinert, Hagen (1989), Campos de calibre en materia condensada Vol II, World Scientific, págs.
^ Kleinert, Hagen (2008), Campos multivaluados en materia condensada, electromagnetismo y gravitación (PDF) , World Scientific, págs. 1–496, Bibcode : 2008mfcm.book..... K
^ Joachim Lohkamp ha demostrado (Annals of Mathematics, 1994) que cualquier variedad de dimensión mayor que dos admite una métrica de curvatura de Ricci negativa.
Referencias
Libros
Berger, Marcel (2000), Geometría riemanniana durante la segunda mitad del siglo XX , Ciclo de conferencias universitarias, vol. 17, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-2052-4. (Proporciona una revisión histórica y un estudio, que incluye cientos de referencias).
Cheeger, Jeff ; Ebin, David G. (2008), Teoremas de comparación en geometría de Riemann , Providence, RI: AMS Chelsea Publishing; Reimpresión revisada del original de 1975.
Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004), Geometría de Riemann , Universitext (3.ª ed.), Berlín: Springer-Verlag.
Jost, Jürgen (2002), Geometría y análisis geométrico de Riemann , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
Petersen, Peter (2006), Geometría de Riemann , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4
De Riemann a la geometría diferencial y la relatividad (Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos y Sumio Yamada, Eds.) Springer, 2017, XXXIV, 647 p. ISBN 978-3-319-60039-0
Documentos
Brendle, Simón ; Schoen, Richard M. (2008), "Clasificación de variedades con curvaturas débilmente pellizcadas de 1/4", Acta Math , 200 : 1–13, arXiv : 0705.3963 , Bibcode : 2007arXiv0705.3963B, doi : 10.1007/s11511-008- 0022-7, S2CID 15463483