Desigualdad de Bishop-Gromov

Sobre volúmenes en variedades n riemannianas completas cuya curvatura de Ricci tiene un límite inferior

En matemáticas , la desigualdad de Bishop-Gromov es un teorema de comparación en geometría de Riemann , que lleva el nombre de Richard L. Bishop y Mikhail Gromov . Está estrechamente relacionado con el teorema de Myers y es el punto clave en la demostración del teorema de compacidad de Gromov . ^[1]

Declaración

Sea una variedad de Riemann n -dimensional completa cuya curvatura de Ricci satisface el límite inferior ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {Ric} \geq (n-1)K}$

para una constante . Sea el espacio completo n -dimensional simplemente conectado de curvatura seccional constante (y por tanto de curvatura de Ricci constante ); así es la n - esfera de radio si , o el espacio euclidiano n -dimensional si , o una versión apropiadamente reescalada del espacio hiperbólico n -dimensional si . Denota por la bola de radio r alrededor de un punto p , definido con respecto a la función de distancia de Riemann . ${\displaystyle K\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{K}^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (n-1)K}$ ${\displaystyle M_{K}^{n}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$ ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle K<0}$ ${\displaystyle B(p,r)}$

Entonces, para cualquiera y , la función ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle p_{K}\in M_{K}^{n}}$

${\displaystyle \phi (r)={\frac {\mathrm {Vol} \,B(p,r)}{\mathrm {Vol} \,B(p_{K},r)}}}$

no es creciente en . ${\displaystyle (0,\infty )}$

Cuando r tiende a cero, la relación se acerca a uno, por lo que junto con la monotonicidad esto implica que

${\displaystyle \mathrm {Vol} \,B(p,r)\leq \mathrm {Vol} \,B(p_{K},r).}$

Esta es la versión probada por primera vez por Bishop. ^{[2] [3]}

Ver también

• Teorema de comparación
• La desigualdad de Gromov (desambiguación)

Referencias

1. Petersen, Peter (2016). "Sección 7.1.2". Geometría de Riemann (3 ed.). Saltador . ISBN 978-3-319-26652-7.
2. Bishop, R. Una relación entre volumen, curvatura media y diámetro. Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense 10 (1963), pág. 364.
3. Obispo RL, Crittenden RJ Geometría de variedades, Corolario 4, p. 256