Número de Abbe

Propiedad de dispersión del material

En óptica y diseño de lentes , el número de Abbe , también conocido como número Vd o constricción de un material transparente , es una medida aproximada de la dispersión del material (cambio del índice de refracción en función de la longitud de onda), donde los valores altos de Vd indican una dispersión baja. Recibe su nombre en honor a Ernst Abbe (1840-1905), el físico alemán que lo definió. El término número Vd no debe confundirse con la frecuencia normalizada en fibras .

Variación del índice de refracción para vidrio flint SF11, vidrio corona de borosilicato BK7 y cuarzo fundido, y cálculo de dos números de Abbe para SF11.

El número de Abbe, ^[1] de un material se define como ${\displaystyle V_{\mathsf {d}}\ ,}$

${\displaystyle V_{\mathsf {d}}\equiv {\frac {n_{\mathsf {d}}-1}{\ n_{\mathsf {F}}-n_{\mathsf {C}}\ }}}$,

donde y son los índices de refracción del material en las longitudes de onda de las líneas espectrales C, d y F de Fraunhofer (656,3  nm , 587,56 nm y 486,1 nm respectivamente). Esta formulación solo se aplica a la visión humana . Fuera de este rango se requiere el uso de diferentes líneas espectrales. Para las líneas espectrales no visibles se utiliza más comúnmente el término "número V". La formulación más general se define como, ${\displaystyle n_{\mathsf {C}},}$ ${\displaystyle n_{\mathsf {d}},}$ ${\displaystyle n_{\mathsf {F}}}$

${\displaystyle V\equiv {\frac {n_{\mathsf {center}}-1}{n_{\mathsf {short}}-n_{\mathsf {long}}}}}$,

donde y son los índices de refracción del material en tres longitudes de onda diferentes. El índice de la longitud de onda más corta es y el de la más larga es . ${\displaystyle n_{\mathsf {short}},}$ ${\displaystyle n_{\mathsf {center}},}$ ${\displaystyle n_{\mathsf {long}},}$ ${\displaystyle n_{\mathsf {short}}}$ ${\displaystyle n_{\mathsf {long}}}$

Los números de Abbe se utilizan para clasificar el vidrio y otros materiales ópticos en términos de su cromaticidad . Por ejemplo, los vidrios de sílex de dispersión más alta tienen números de Abbe relativamente pequeños , mientras que los vidrios de corona de dispersión más baja tienen números de Abbe más grandes. Los valores varían desde menos de 25 para vidrios de sílex muy densos, alrededor de 34 para plásticos de policarbonato , hasta 65 para vidrios de corona comunes y de 75 a 85 para algunos vidrios de corona de fluorita y fosfato. ${\displaystyle V<55}$ ${\displaystyle V_{\mathsf {d}}}$

La mayor parte de la curva de sensibilidad de longitud de onda del ojo humano, que se muestra aquí, está delimitada por las longitudes de onda de referencia del número de Abbe de 486,1 nm (azul) y 656,3 nm (rojo).

Los números de Abbe se utilizan en el diseño de lentes acromáticas , ya que su recíproco es proporcional a la dispersión (pendiente del índice de refracción en función de la longitud de onda) en la región de longitud de onda donde el ojo humano es más sensible (ver gráfico). Para regiones de longitud de onda diferentes, o para una mayor precisión en la caracterización de la cromaticidad de un sistema (como en el diseño de lentes apocromáticas ), se utiliza la relación de dispersión completa (índice de refracción en función de la longitud de onda).

Diagrama de Abbe

Un diagrama de Abbe, también conocido como "el velo de vidrio", representa gráficamente el número de Abbe en función del índice de refracción de una variedad de vidrios diferentes (puntos rojos). Los vidrios se clasifican utilizando el código de letras y números de Schott Glass para reflejar su composición y posición en el diagrama.

Influencias de la adición de componentes de vidrio seleccionados en el número de Abbe de un vidrio base específico. ^[2]

Un diagrama de Abbe , también llamado "el velo de vidrio", se produce al representar gráficamente el número de Abbe de un material en función de su índice de refracción . A continuación, los vidrios se pueden clasificar y seleccionar según sus posiciones en el diagrama. Este puede ser un código de letras y números, como el que se utiliza en el catálogo de vidrio Schott , o un código de vidrio de 6 dígitos . ${\displaystyle V_{\mathsf {d}}}$ ${\displaystyle n_{\mathsf {d}}.}$

Los números de Abbe de las gafas, junto con sus índices de refracción medios, se utilizan para calcular los poderes de refracción necesarios de los elementos de las lentes acromáticas con el fin de anular la aberración cromática hasta el primer orden. Estos dos parámetros que entran en las ecuaciones para el diseño de dobletes acromáticos son exactamente los que se representan en un diagrama de Abbe.

Debido a la dificultad e inconveniente de producir líneas de sodio e hidrógeno, a menudo se sustituyen por definiciones alternativas del número de Abbe ( ISO 7944). ^[3] Por ejemplo, en lugar de la definición estándar dada anteriormente, que utiliza la variación del índice de refracción entre las líneas de hidrógeno F y C , una medida alternativa que utiliza el subíndice "e" para la línea e del mercurio en comparación con las líneas F ′ y C ′ del cadmio  es

${\displaystyle V_{\mathsf {e}}={\frac {n_{\mathsf {e}}-1}{\ n_{\mathsf {F'}}-n_{\mathsf {C'}}\ }}~.}$

Esta alternativa toma la diferencia entre los índices de refracción azul (C ′ ) y rojo (F ′ ) del cadmio en longitudes de onda de 480,0 nm y 643,8 nm, en relación con la línea e del mercurio en 546,073 nm, todas las cuales están cerca y son algo más fáciles de producir que las líneas C, F y e. Se pueden emplear otras definiciones de manera similar; la siguiente tabla enumera las longitudes de onda estándar en las que se determina comúnmente, incluidos los subíndices estándar utilizados. ^[4] ${\displaystyle \ n_{\mathsf {e}}\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$

Derivación

A partir de la ecuación de Lensmaker obtenemos la ecuación de lente delgada eliminando un término pequeño que tiene en cuenta el espesor de la lente: [ ^5] ${\displaystyle \ d\ }$

${\displaystyle P={\frac {1}{\ f~}}=(n-1){\Biggl [}{\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}+{\frac {\ (n-1)\ d~}{\ n\ R_{1}R_{2}\ }}{\Biggr ]}\approx (n-1)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\ ,}$

cuando ${\displaystyle d\ll {\sqrt {\ R_{1}R_{2}\ }}~.}$

El cambio de poder refractivo entre las dos longitudes de onda se da por ${\displaystyle \ P\ }$ ${\displaystyle \ \lambda _{\mathsf {short}}\ }$ ${\displaystyle \ \lambda _{\mathsf {long}}\ }$

${\displaystyle \Delta P=P_{\mathsf {short}}-P_{\mathsf {\ \!long}}=(n_{\mathsf {s}}-n_{\mathsf {\ell }})\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\ ,}$

donde y son los índices de refracción de las longitudes de onda corta y larga, respectivamente, y abajo, es para el centro. ${\displaystyle \ n_{\mathsf {s}}\ }$ ${\displaystyle \ n_{\mathsf {\ell }}\ }$ ${\displaystyle \ n_{\mathsf {c}}\ ,}$

La diferencia de potencia se puede expresar en relación con la potencia en la longitud de onda central ( ) ${\displaystyle \ \lambda _{\mathsf {center}}\ }$

${\displaystyle \ P_{\mathsf {c}}\ =(n_{\mathsf {c}}-1)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\,;}$

Al multiplicar y dividir por y reagrupar, se obtiene ${\displaystyle \ n_{\mathsf {c}}-1\ }$

${\displaystyle \Delta P=\left(n_{\mathsf {s}}-n_{\mathsf {\ell }}\right)\left({\frac {\ n_{\mathsf {c}}-1\ }{n_{\mathsf {c}}-1}}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)=\left({\frac {\ \ n_{\mathsf {s}}-n_{\mathsf {\ell }}\ }{n_{\mathsf {c}}-1}}\right)P_{\mathsf {c}}={\frac {\ P_{\mathsf {c}}\ }{V_{\mathsf {c}}}}~.}$

El cambio relativo es inversamente proporcional a ${\displaystyle \ V_{\mathsf {c}}\ :}$

${\displaystyle {\frac {\ \Delta P\ }{P_{\mathsf {c}}}}={\frac {1}{\ V_{\mathsf {c}}\ }}~.}$

Véase también

• Prisma de Abbe
• Refractómetro de Abbe
• Cálculo de propiedades del vidrio , incluido el número de Abbe
• Código de vidrio
• Ecuación de Sellmeier , modelado de dispersión más completo y basado físicamente

Referencias

1. Propiedades del vidrio óptico. Serie Schott sobre vidrio y vitrocerámica. Schott Glass . 1998. doi :10.1007/978-3-642-57769-7. ISBN 978-3-642-63349-2.
2. Fluegel, Alexander (7 de diciembre de 2007). "Cálculo del número de Abbe de vidrios". Cálculo estadístico y desarrollo de propiedades del vidrio (glassproperties.com) . Consultado el 16 de enero de 2022 .
3. Meister, Darryl (12 de abril de 2010). Comprensión de las longitudes de onda de referencia (PDF) . opticampus.opti.vision (memo). Carl Zeiss Vision. Archivado (PDF) del original el 2022-10-09 . Consultado el 2013-03-13 .
4. Pye, LD; Frechette, VD; Kreidl, Nueva Jersey (1977). Vasos de borato . Nueva York, Nueva York: Plenum Press.
5. Hecht, Eugene (2017). Óptica (quinta edición, edición global). Boston Columbus Indianápolis Nueva York San Francisco Ámsterdam Ciudad del Cabo Dubái Londres Madrid Milán Múnich: Pearson. ISBN 978-1-292-09693-3.

Enlaces externos

• Gráfica de Abbe y datos de 356 vasos de Ohara, Hoya y Schott