Ecuación de Sellmeier

Relación empírica entre el índice de refracción y la longitud de onda

Índice de refracción frente a longitud de onda para vidrio BK7 , que muestra los puntos medidos (cruces azules) y la ecuación de Sellmeier (línea roja)

Igual que el gráfico anterior, pero con la ecuación de Cauchy (línea azul) como comparación. Mientras que la ecuación de Cauchy (línea azul) se desvía significativamente de los índices de refracción medidos fuera de la región visible (que está sombreada en rojo), la ecuación de Sellmeier (línea discontinua verde) no lo hace.

La ecuación de Sellmeier es una relación empírica entre el índice de refracción y la longitud de onda para un medio transparente en particular . La ecuación se utiliza para determinar la dispersión de la luz en el medio.

Fue propuesta por primera vez en 1872 por Wolfgang Sellmeier y fue un desarrollo del trabajo de Augustin Cauchy sobre la ecuación de Cauchy para modelar la dispersión. ^[1]

La ecuación

En su forma original y más general, la ecuación de Sellmeier se da como

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+\sum _{i}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}}}$,

donde n es el índice de refracción, λ es la longitud de onda y B _i y C _{i son} coeficientes de Sellmeier determinados experimentalmente . Estos coeficientes se expresan normalmente para λ en micrómetros . Nótese que λ es la longitud de onda del vacío, no la del propio material, que es λ/n. A veces se utiliza una forma diferente de la ecuación para ciertos tipos de materiales, por ejemplo, los cristales .

Cada término de la suma representa una resonancia de absorción de fuerza B _i a una longitud de onda √ C _i . Por ejemplo, los coeficientes para BK7 a continuación corresponden a dos resonancias de absorción en el ultravioleta y una en la región del infrarrojo medio . Analíticamente, este proceso se basa en la aproximación de las resonancias ópticas subyacentes como funciones delta de Dirac , seguidas de la aplicación de las relaciones de Kramers-Kronig . Esto da como resultado partes reales e imaginarias del índice de refracción que son físicamente sensibles. ^[2] Sin embargo, cerca de cada pico de absorción, la ecuación da valores no físicos de n ² = ±∞, y en estas regiones de longitud de onda se debe utilizar un modelo de dispersión más preciso, como el de Helmholtz.

Si se especifican todos los términos para un material, en longitudes de onda largas alejadas de los picos de absorción, el valor de n tiende a

${\displaystyle {\begin{matrix}n\approx {\sqrt {1+\sum _{i}B_{i}}}\approx {\sqrt {\varepsilon _{r}}}\end{matrix}},}$

donde ε _r es la permitividad relativa del medio.

Para la caracterización de los vidrios se utiliza comúnmente la ecuación que consta de tres términos: ^{[3] [4]}

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}},}$

A modo de ejemplo, a continuación se muestran los coeficientes para un vidrio corona de borosilicato común conocido como BK7 :

En el caso de los vidrios ópticos comunes, el índice de refracción calculado con la ecuación de Sellmeier de tres términos se desvía del índice de refracción real en menos de 5×10 ⁻⁶ en el rango de longitudes de onda ^[5] de 365 nm a 2,3 μm, que es del orden de la homogeneidad de una muestra de vidrio. ^[6] A veces se añaden términos adicionales para que el cálculo sea aún más preciso.

A veces la ecuación de Sellmeier se utiliza en forma de dos términos: ^[7]

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=A+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}.}$

Aquí, el coeficiente A es una aproximación de las contribuciones de la absorción de longitudes de onda cortas (por ejemplo, ultravioleta) al índice de refracción en longitudes de onda más largas. Existen otras variantes de la ecuación de Sellmeier que pueden explicar el cambio del índice de refracción de un material debido a la temperatura , la presión y otros parámetros.

Derivación

Analíticamente, la ecuación de Sellmeier modela el índice de refracción como resultado de una serie de resonancias ópticas dentro del material en masa. Su derivación a partir de las relaciones de Kramers-Kronig requiere algunas suposiciones sobre el material, de las cuales cualquier desviación afectará la precisión del modelo:

• Existe una serie de resonancias y el índice de refracción final se puede calcular a partir de la suma de las contribuciones de todas las resonancias.
• Todas las resonancias ópticas están en longitudes de onda muy alejadas de las longitudes de onda de interés, donde se aplica el modelo.
• En estas frecuencias de resonancia, el componente imaginario de la susceptibilidad ( ) puede modelarse como una función delta . ${\displaystyle {\chi _{i}}}$

A partir del último punto, el índice de refracción complejo (y la susceptibilidad eléctrica ) se convierte en:

${\displaystyle \chi _{i}(\omega )=\sum _{i}A_{i}\delta (\omega -\omega _{i})}$

La parte real del índice de refracción proviene de aplicar las relaciones de Kramers-Kronig a la parte imaginaria:

${\displaystyle n^{2}=1+\chi _{r}(\omega )=1+{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega \chi _{i}(\omega )}{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega }$

Sustituyendo la primera ecuación anterior por el componente imaginario:

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sum _{i}A_{i}\delta (\omega -\omega _{i}){\frac {\omega }{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega }$

El orden de suma e integración se puede intercambiar. Cuando se evalúa, se obtiene lo siguiente, donde es la función de Heaviside : ${\displaystyle H}$

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}\int _{0}^{\infty }\delta (\omega -\omega _{i}){\frac {\omega }{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega =1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}{\frac {\omega _{i}H(\omega _{i})}{\omega _{i}^{2}-\Omega ^{2}}}}$

Dado que se supone que el dominio está lejos de cualquier resonancia (supuesto 2 anterior), se evalúa como 1 y se obtiene una forma familiar de la ecuación de Sellmeier: ${\displaystyle H(\omega _{i})}$

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}{\frac {\omega _{i}}{\omega _{i}^{2}-\Omega ^{2}}}}$

Al reorganizar los términos, las constantes y se pueden sustituir en la ecuación anterior para obtener la ecuación de Sellmeier. ^[2] ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$

Coeficientes

Véase también

• Ecuación de Cauchy

Referencias

1. Sellmeier, W. (1872). "Ueber die durch die Aetherschwingungen erregten Mitschwingungen der Körpertheilchen und deren Rückwirkung auf die ersteren, besonders zur Erklärung der Dispersion und ihrer Anomalien (II. Theil)". Annalen der Physik und Chemie . 223 (11): 386–403. doi : 10.1002/andp.18722231105.
2. "2.7: Relaciones Kramers-Kroenig". Ingeniería LibreTexts . 2021-04-06 . Consultado el 2024-07-09 .
3. Índice de refracción y dispersión. Documento de información técnica de Schott TIE-29 (2007).
4. Paschotta, Dr. Rüdiger. "Enciclopedia de física y tecnología láser: fórmula de Sellmeier, índice de refracción, ecuación de Sellmeier, fórmula de dispersión". www.rp-photonics.com . Consultado el 14 de septiembre de 2018 .
5. "Propiedades ópticas".
6. "Garantía de Calidad".
7. Ghosh, Gorachand (1997). "Coeficientes de Sellmeier y dispersión de coeficientes termoópticos para algunos vidrios ópticos". Óptica Aplicada . 36 (7): 1540–6. Código Bibliográfico :1997ApOpt..36.1540G. doi :10.1364/AO.36.001540. PMID  18250832.
8. "Copia archivada". Archivado desde el original el 11 de octubre de 2015. Consultado el 16 de enero de 2015 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

Enlaces internos

• RefractiveIndex.INFO Base de datos de índice de refracción que presenta coeficientes de Sellmeier para cientos de materiales.
• Una calculadora basada en navegador que proporciona el índice de refracción a partir de los coeficientes de Sellmeier.
• Annalen der Physik - acceso libre, digitalizado por la biblioteca nacional francesa
• Coeficientes de Sellmeier para 356 vidrios de Ohara, Hoya y Schott