Evento (teoría de la probabilidad)

En estadística y teoría de la probabilidad, conjunto de resultados a los que se asigna una probabilidad.

En teoría de la probabilidad , un evento es un conjunto de resultados de un experimento (un subconjunto del espacio muestral ) al que se le asigna una probabilidad. ^[1] Un único resultado puede ser un elemento de muchos eventos diferentes, ^[2] y los diferentes eventos en un experimento normalmente no son igualmente probables, ya que pueden incluir grupos muy diferentes de resultados. ^[3] Un evento que consiste en un solo resultado se denomina evento elemental o evento atómico ; es decir, es un conjunto singleton . Un evento que tiene más de un resultado posible se denomina evento compuesto. Se dice que un evento ocurre si contiene el resultado del experimento (o ensayo) (es decir, si ). ^[4] La probabilidad (con respecto a alguna medida de probabilidad ) de que ocurra un evento es la probabilidad que contiene el resultado de un experimento (es decir, es la probabilidad de que ). Un evento define un evento complementario , es decir, el conjunto complementario (el evento que no ocurre), y juntos definen un ensayo de Bernoulli : ¿ocurrió o no el evento? ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in S}$

Por lo general, cuando el espacio muestral es finito, cualquier subconjunto del espacio muestral es un evento (es decir, todos los elementos del conjunto potencia del espacio muestral se definen como eventos). ^[5] Sin embargo, este enfoque no funciona bien en los casos en que el espacio muestral es incontablemente infinito . Por lo tanto, al definir un espacio de probabilidad es posible, y a menudo necesario, excluir ciertos subconjuntos del espacio muestral de ser eventos (ver § Eventos en espacios de probabilidad, más adelante).

Un ejemplo sencillo

Si armamos una baraja de 52 cartas sin comodines y extraemos una sola carta de la baraja, entonces el espacio muestral es un conjunto de 52 elementos, ya que cada carta es un resultado posible. Un evento, sin embargo, es cualquier subconjunto del espacio muestral, incluyendo cualquier conjunto singleton (un evento elemental ), el conjunto vacío (un evento imposible, con probabilidad cero) y el espacio muestral mismo (un evento cierto, con probabilidad uno). Otros eventos son subconjuntos propios del espacio muestral que contienen múltiples elementos. Así, por ejemplo, los eventos potenciales incluyen:

Diagrama de Euler de un evento. es el espacio muestral y es un evento. Por la relación de sus áreas, la probabilidad de es aproximadamente 0,4. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$
${\displaystyle A}$

• "Rojo y negro a la vez sin ser un comodín" (0 elementos),
• "El 5 de Corazones" (1 elemento),
• "Un Rey" (4 elementos),
• "Una carta con cara" (12 elementos),
• "Una espada" (13 elementos),
• "Una carta con figura o un palo rojo" (32 elementos),
• "Una tarjeta" (52 elementos).

Dado que todos los eventos son conjuntos, generalmente se escriben como conjuntos (por ejemplo, {1, 2, 3}) y se representan gráficamente mediante diagramas de Venn . En la situación en la que cada resultado en el espacio muestral Ω es igualmente probable, la probabilidad de un evento es la siguiente ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$Fórmula : Esta regla se puede aplicar fácilmente a cada uno de los eventos de ejemplo anteriores. $${\displaystyle \mathrm {P} (A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\,\ \left({\text{alternatively:}}\ \Pr(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\right)}$$

Eventos en espacios de probabilidad

La definición de todos los subconjuntos del espacio muestral como eventos funciona bien cuando solo hay un número finito de resultados, pero da lugar a problemas cuando el espacio muestral es infinito. Para muchas distribuciones de probabilidad estándar , como la distribución normal , el espacio muestral es el conjunto de números reales o algún subconjunto de los números reales . Los intentos de definir probabilidades para todos los subconjuntos de los números reales se topan con dificultades cuando se consideran conjuntos "mal comportados" , como aquellos que no son mensurables . Por lo tanto, es necesario restringir la atención a una familia más limitada de subconjuntos. Para que funcionen las herramientas estándar de la teoría de la probabilidad, como las probabilidades conjuntas y condicionales , es necesario utilizar una σ-álgebra , es decir, una familia cerrada bajo complementación y uniones contables de sus miembros. La opción más natural de σ-álgebra es el conjunto medible de Borel derivado de uniones e intersecciones de intervalos. Sin embargo, la clase más grande de conjuntos mesurables de Lebesgue resulta más útil en la práctica.

En la descripción general de los espacios de probabilidad según la teoría de la medida , un evento puede definirse como un elemento de una 𝜎-álgebra seleccionada de subconjuntos del espacio muestral. Según esta definición, cualquier subconjunto del espacio muestral que no sea un elemento de la 𝜎-álgebra no es un evento y no tiene probabilidad. Sin embargo, con una especificación razonable del espacio de probabilidad, todos los eventos de interés son elementos de la 𝜎-álgebra.

Una nota sobre la notación

Aunque los eventos son subconjuntos de algún espacio muestral, a menudo se escriben como predicados o indicadores que involucran variables aleatorias . Por ejemplo, si es una variable aleatoria de valor real definida en el espacio muestral, el evento se puede escribir de manera más conveniente como, simplemente, Esto es especialmente común en fórmulas para una probabilidad , como El conjunto es un ejemplo de una imagen inversa bajo la función porque si y solo si ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ $${\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid u<X(\omega )\leq v\}\,}$$ $${\displaystyle u<X\leq v\,.}$$ $${\displaystyle \Pr(u<X\leq v)=F(v)-F(u)\,.}$$ ${\displaystyle u<X\leq v}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega \in X^{-1}((u,v])}$ ${\displaystyle u<X(\omega )\leq v.}$

Véase también

• Átomo (teoría de la medida)  : Un conjunto medible con medida positiva que no contiene ningún subconjunto de medida positiva más pequeña.
• Evento complementario  – Opuesto a un evento de probabilidad
• Evento elemental  : Un evento que contiene solo un resultado.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Evento independiente  : Cuando la ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de otro.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Resultado (probabilidad)  : resultado posible de un experimento o ensayo
• Eventos independientes por pares  : conjunto de variables aleatorias de las cuales dos son independientes

Notas

1. Leon-Garcia, Alberto (2008). Probabilidad, estadística y procesos aleatorios para ingeniería eléctrica. Upper Saddle River, NJ: Pearson. ISBN 9780131471221.
2. Pfeiffer, Paul E. (1978). Conceptos de teoría de la probabilidad. Dover Publications. pág. 18. ISBN 978-0-486-63677-1.
3. Foerster, Paul A. (2006). Álgebra y trigonometría: funciones y aplicaciones, edición para profesores (edición Classics). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . pág. 634. ISBN 0-13-165711-9.
4. Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, ​​Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Ludolf Erwin, Meester (2005). Dekking, Michel (ed.). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística: entender por qué y cómo. Textos de Springer sobre estadística. Londres [Heidelberg]: Springer. p. 14. ISBN 978-1-85233-896-1.
5. Širjaev, Albert N. (2016). Probabilidad-1 . Textos de posgrado en matemáticas. Traducido por Boas, Ralph Philip; Chibisov, Dmitry (3.ª ed.). Nueva York, Heidelberg, Dordrecht, Londres: Springer. ISBN 978-0-387-72205-4.

Enlaces externos

• "Evento aleatorio", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Definición formal en el sistema Mizar .