Circuito RL

Circuito eléctrico formado por elementos resistivos e inductivos, sin elementos capacitivos.

Un circuito resistor-inductor ( circuito RL ), o filtro RL o red RL , es un circuito eléctrico compuesto de resistores e inductores accionados por una fuente de voltaje o corriente . ^[1] Un circuito RL de primer orden está compuesto por un resistor y un inductor, ya sea en serie accionados por una fuente de voltaje o en paralelo accionados por una fuente de corriente. Es uno de los filtros electrónicos analógicos de respuesta al impulso infinito más simples .

Introducción

Los elementos fundamentales de un circuito pasivo lineal son la resistencia (R), el condensador (C) y el inductor (L). Estos elementos del circuito se pueden combinar para formar un circuito eléctrico de cuatro formas distintas: el circuito RC , el circuito RL, el circuito LC y el circuito RLC , con las abreviaturas que indican qué componentes se utilizan. Estos circuitos presentan tipos de comportamiento importantes que son fundamentales para la electrónica analógica . En particular, pueden actuar como filtros pasivos .

En la práctica, sin embargo, los condensadores (y los circuitos RC) suelen preferirse a los inductores, ya que se pueden fabricar más fácilmente y generalmente son físicamente más pequeños, en particular para valores más altos de componentes.

Tanto los circuitos RC como los RL forman un filtro unipolar. Dependiendo de si el elemento reactivo (C o L) está en serie con la carga o en paralelo con ella, se determinará si el filtro es de paso bajo o de paso alto.

Con frecuencia, los circuitos RL se utilizan como fuentes de alimentación de CC para amplificadores de RF , donde el inductor se utiliza para pasar corriente de polarización de CC y bloquear la RF que regresa a la fuente de alimentación.

Impedancia compleja

La impedancia compleja Z _L (en ohmios ) de un inductor con inductancia L (en henries ) es

${\displaystyle Z_{L}=Ls\,.}$

La frecuencia compleja s es un número complejo ,

${\displaystyle s=\sigma +j\omega \,,}$

dónde

• j representa la unidad imaginaria : j ² = −1 ,
• σ es la constante de decaimiento exponencial (en radianes por segundo ), y
• ω es la frecuencia angular (en radianes por segundo).

Funciones propias

Las funciones propias de valor complejo de cualquier sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) son de las siguientes formas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} (t)&=\mathbf {A} e^{st}=\mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\\\mathbf {A} &=Ae^{j\phi }\\\Rightarrow \mathbf {V} (t)&=Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}\\&=Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}\,.\end{aligned}}}$

De la fórmula de Euler , la parte real de estas funciones propias son senos que decaen exponencialmente:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} {V(t)}=Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )\,.}$

Estado estable sinusoidal

El estado estable sinusoidal es un caso especial en el que el voltaje de entrada consiste en una sinusoide pura (sin decaimiento exponencial). Como resultado,

${\displaystyle \sigma =0}$

y la evaluación de s se convierte en

${\displaystyle s=j\omega \,.}$

Circuito en serie

Circuito serie RL

Al considerar el circuito como un divisor de voltaje , vemos que el voltaje a través del inductor es:

${\displaystyle V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,,}$

y el voltaje a través de la resistencia es:

${\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

Actual

La corriente en el circuito es la misma en todas partes ya que el circuito está en serie:

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+Ls}}\,.}$

Funciones de transferencia

La función de transferencia al voltaje del inductor es

${\displaystyle H_{L}(s)={\frac {V_{L}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {Ls}{R+Ls}}=G_{L}e^{j\phi _{L}}\,.}$

De manera similar, la función de transferencia al voltaje de la resistencia es

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {R}{R+Ls}}=G_{R}e^{j\phi _{R}}\,.}$

La función de transferencia, a la corriente, es

${\displaystyle H_{I}(s)={\frac {I(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{R+Ls}}\,.}$

Polos y ceros

Las funciones de transferencia tienen un solo polo ubicado en

${\displaystyle s=-{\frac {R}{L}}\,.}$

Además, la función de transferencia del inductor tiene un cero ubicado en el origen .

Ganancia y ángulo de fase

Las ganancias entre los dos componentes se obtienen tomando las magnitudes de las expresiones anteriores:

${\displaystyle G_{L}={\big |}H_{L}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{L}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$

y

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}\,,}$

y los ángulos de fase son:

${\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}$

y

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)\,.}$

Notación fasorial

Estas expresiones juntas pueden sustituirse en la expresión habitual para el fasor que representa la salida: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}&=G_{L}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{L}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\end{aligned}}}$

Respuesta al impulso

La respuesta al impulso para cada voltaje es la transformada de Laplace inversa de la función de transferencia correspondiente. Representa la respuesta del circuito a un voltaje de entrada que consiste en un impulso o función delta de Dirac .

La respuesta al impulso para el voltaje del inductor es

${\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

donde u ( t ) es la función escalón de Heaviside y τ = ⁠yo/R⁠ es laconstante de tiempo.

De manera similar, la respuesta al impulso para el voltaje de la resistencia es

${\displaystyle h_{R}(t)={\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,.}$

Respuesta de entrada cero

La respuesta de entrada cero (ZIR), también llamada respuesta natural , de un circuito RL describe el comportamiento del circuito después de haber alcanzado voltajes y corrientes constantes y de estar desconectado de cualquier fuente de energía. Se denomina respuesta de entrada cero porque no requiere ninguna entrada.

La ZIR de un circuito RL es:

${\displaystyle I(t)=I(0)e^{-{\frac {R}{L}}t}=I(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,.}$

Consideraciones sobre el dominio de la frecuencia

Se trata de expresiones del dominio de la frecuencia . Su análisis mostrará qué frecuencias pasan y rechazan los circuitos (o filtros). Este análisis se basa en la consideración de lo que sucede con estas ganancias a medida que la frecuencia se vuelve muy grande o muy pequeña.

Como ω → ∞ :

${\displaystyle G_{L}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

Como ω → 0 :

${\displaystyle G_{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

Esto demuestra que, si la salida se toma a través del inductor, las frecuencias altas pasan y las frecuencias bajas se atenúan (rechazan). Por lo tanto, el circuito se comporta como un filtro de paso alto . Sin embargo, si la salida se toma a través del resistor, las frecuencias altas se rechazan y las frecuencias bajas pasan. En esta configuración, el circuito se comporta como un filtro de paso bajo . Compare esto con el comportamiento de la salida del resistor en un circuito RC , donde ocurre lo contrario.

El rango de frecuencias por las que pasa el filtro se denomina ancho de banda . El punto en el que el filtro atenúa la señal a la mitad de su potencia sin filtrar se denomina frecuencia de corte . Esto requiere que la ganancia del circuito se reduzca a

${\displaystyle G_{L}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {R}{L}}{\mbox{ rad/s}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {R}{2\pi L}}{\mbox{ Hz}}\,,}$

que es la frecuencia que el filtro atenuará a la mitad de su potencia original.

Claramente, las fases también dependen de la frecuencia, aunque este efecto es menos interesante en general que las variaciones de ganancia.

Como ω → 0 :

${\displaystyle \phi _{L}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

Como ω → ∞ :

${\displaystyle \phi _{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

Por lo tanto, en CC (0  Hz ), el voltaje de la resistencia está en fase con el voltaje de la señal, mientras que el voltaje del inductor se adelanta 90°. A medida que aumenta la frecuencia, el voltaje de la resistencia llega a tener un desfase de 90° con respecto a la señal y el voltaje del inductor llega a estar en fase con la señal.

Consideraciones sobre el dominio del tiempo

Esta sección se basa en el conocimiento de e , la constante logarítmica natural .

La forma más directa de derivar el comportamiento en el dominio del tiempo es utilizar las transformadas de Laplace de las expresiones para V _L y V _R dadas anteriormente. Esto transforma efectivamente jω → s . Suponiendo una entrada escalonada (es decir, V _in = 0 antes de t = 0 y luego V _in = V después):

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{L}(s)&=V\cdot {\frac {sL}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {R}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

Respuesta escalonada de tensión del inductor.

Respuesta escalonada de voltaje de resistencia.

Las expansiones de fracciones parciales y la transformada inversa de Laplace dan como resultado:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=Ve^{-t{\frac {R}{L}}}\\V_{R}(t)&=V\left(1-e^{-t{\frac {R}{L}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el voltaje a través del inductor tiende a 0 a medida que pasa el tiempo, mientras que el voltaje a través del resistor tiende a V , como se muestra en las figuras. Esto está en consonancia con el punto intuitivo de que el inductor solo tendrá un voltaje mientras la corriente en el circuito esté cambiando: cuando el circuito alcanza su estado estable, no hay más cambios de corriente y, en última instancia, no hay voltaje en el inductor.

Estas ecuaciones muestran que un circuito en serie RL tiene una constante de tiempo, generalmente denotada τ = ⁠yo/R⁠ siendo el tiempo que tarda el voltaje a través del componente en caer (a través del inductor) o aumentar (a través de la resistencia) dentro de ⁠1/mi⁠ de su valor final. Es decir, τ es el tiempo que tarda V _L en alcanzar V ( ⁠1/mi⁠ ) ​​y V _R para alcanzar V (1 − ⁠1/mi⁠ ) ​​.

La tasa de cambio es una fracción de 1 − ⁠1/mi⁠ por τ . Por lo tanto, al pasar de t = Nτ a t = ( N + 1) τ , el voltaje se habrá movido aproximadamente el 63% del camino desde su nivel en t = Nτ hacia su valor final. Por lo tanto, el voltaje a través del inductor habrá caído a aproximadamente el 37% después de τ , y esencialmente a cero (0,7%) después de aproximadamente 5 τ . La ley de voltaje de Kirchhoff implica que el voltaje a través del resistor aumentará a la misma velocidad. Cuando la fuente de voltaje se reemplaza por un cortocircuito , el voltaje a través del resistor cae exponencialmente con t desde V hacia 0. El resistor se descargará a aproximadamente el 37% después de τ , y esencialmente se descargará por completo (0,7%) después de aproximadamente 5 τ . Tenga en cuenta que la corriente, I , en el circuito se comporta como lo hace el voltaje a través del resistor, a través de la Ley de Ohm .

El retraso en el tiempo de subida o bajada del circuito se debe en este caso a la fuerza contraelectromotriz del inductor que, a medida que la corriente que fluye a través de él intenta cambiar, impide que la corriente (y, por lo tanto, el voltaje a través del resistor) suba o baje mucho más rápido que la constante de tiempo del circuito. Dado que todos los cables tienen cierta autoinducción y resistencia, todos los circuitos tienen una constante de tiempo. Como resultado, cuando se enciende la fuente de alimentación, la corriente no alcanza instantáneamente su valor de estado estable ,V/R⁠ . En cambio, el ascenso requiere varias constantes de tiempo para completarse. Si este no fuera el caso y la corriente alcanzara el estado estable inmediatamente, se generarían campos eléctricos inductivos extremadamente fuertes por el cambio brusco en el campo magnético, lo que provocaría la ruptura del aire en el circuito y la formación de arcos eléctricos , probablemente dañando los componentes (y a los usuarios).

Estos resultados también pueden obtenerse resolviendo la ecuación diferencial que describe el circuito:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }&=IR+L{\frac {dI}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{L}\,.\end{aligned}}}$

La primera ecuación se resuelve utilizando un factor de integración y da como resultado la corriente que debe derivarse para obtener V _L ; la segunda ecuación es sencilla. Las soluciones son exactamente las mismas que las obtenidas mediante transformadas de Laplace.

Ecuación de cortocircuito

Para la evaluación de cortocircuitos se considera el circuito RL. La ecuación más general es:

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{L}(t)+v_{R}(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri}$

Con condición inicial:

${\displaystyle i(0)=i_{0}}$

Que se puede resolver mediante la transformada de Laplace :

${\displaystyle V_{in}(s)=sLI-Li_{0}+RI}$

De este modo:

${\displaystyle I(s)={\frac {Li_{o}+V_{in}}{sL+R}}}$

Entonces la antitransformación retorna:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {V_{in}}{sL+R}}\right]}$

En caso de que la tensión de la fuente sea una función escalonada de Heaviside (CC):

${\displaystyle v_{in}(t)=Eu(t)}$

Devoluciones:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E}{s(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)}$

En caso de que la tensión de la fuente sea una función sinusoidal (CA):

${\displaystyle v_{in}(t)=E\sin(\omega t)\Rightarrow V_{in}(s)={\frac {E\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}}$

Devoluciones:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{(s^{2}+\omega ^{2})(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{2j\omega }}\left({\frac {1}{s-j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}\right){\frac {1}{(sL+R)}}\right]}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {1}{s+{\frac {R}{L}}}}\left({\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}-{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right)+{\frac {1}{s-j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right]}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}e^{-{\frac {R}{L}}t}2j{\text{Im}}\left({\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right)+{\frac {E}{2jL}}2j{\text{Im}}\left(e^{j\omega t}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right)}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left[\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right]}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L\left[\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right]}}\left[{\frac {R}{L}}\sin(\omega t)-\omega \cos(\omega t)\right]}$

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left[\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right]}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L{\sqrt {\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}}}}}\sin \left[\omega t-\tan ^{-1}\left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$

Circuito paralelo

Circuito RL paralelo

Cuando tanto el resistor como el inductor están conectados en paralelo y se alimentan a través de una fuente de voltaje, esto se conoce como un circuito RL en paralelo. ^[2] El circuito RL en paralelo generalmente es de menor interés que el circuito en serie a menos que se alimente mediante una fuente de corriente. Esto se debe principalmente a que el voltaje de salida ( V _out ) es igual al voltaje de entrada ( V _in ); como resultado, este circuito no actúa como un filtro para una señal de entrada de voltaje.

Con impedancias complejas:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{L}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{j\omega L}}=-{\frac {jV_{\mathrm {in} }}{\omega L}}\,.\end{aligned}}}$

Esto demuestra que el inductor va retrasado 90° respecto a la corriente del resistor (y de la fuente).

El circuito en paralelo se observa en la salida de muchos circuitos amplificadores y se utiliza para aislar el amplificador de los efectos de carga capacitiva a altas frecuencias. Debido al cambio de fase introducido por la capacitancia, algunos amplificadores se vuelven inestables a frecuencias muy altas y tienden a oscilar. Esto afecta la calidad del sonido y la vida útil de los componentes, especialmente los transistores.

Véase también

• Circuito LC
• Circuito RC
• Circuito RLC
• Red eléctrica
• Lista de temas de electrónica

Referencias

1. "Circuito RL: Fórmula, Equitación y Diagrama | Linquip". 2021-08-24 . Consultado el 2022-03-16 .
2. "Circuito RL: funcionamiento, diagrama fasorial, impedancia y sus usos". ElProCus - Proyectos electrónicos para estudiantes de ingeniería . 2021-04-06 . Consultado el 2022-03-16 .