Conductividad cerca del umbral de percolación

La conductividad cerca del umbral de percolación en física se da en una mezcla entre un componente dieléctrico y uno metálico. La conductividad y la constante dieléctrica de esta mezcla muestran un comportamiento crítico si la fracción del componente metálico alcanza el umbral de percolación . ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \epsilon }$

El comportamiento de la conductividad cerca de este umbral de percolación mostrará un cambio suave desde la conductividad del componente dieléctrico a la conductividad del componente metálico. Este comportamiento se puede describir utilizando dos exponentes críticos "s" y "t", mientras que la constante dieléctrica divergirá si se alcanza el umbral desde cualquiera de los lados. Para incluir el comportamiento dependiente de la frecuencia en los componentes electrónicos , se utiliza un modelo de resistencia - condensador (modelo RC).

Percolación geométrica

Para describir una mezcla de un componente dieléctrico y uno metálico, utilizamos el modelo de percolación de enlace. En una red regular, el enlace entre dos vecinos más próximos puede estar ocupado con probabilidad o no estar ocupado con probabilidad . Existe un valor crítico . Para las probabilidades de ocupación se forma un conjunto infinito de enlaces ocupados. Este valor se denomina umbral de percolación . La región cercana a este umbral de percolación se puede describir mediante los dos exponentes críticos y (véase Exponentes críticos de percolación ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle p>p_{c}}$ ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \beta }$

Con estos exponentes críticos tenemos la longitud de correlación , ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (p)\propto (p_{c}-p)^{-\nu }}$

y la probabilidad de percolación , P:

${\displaystyle P(p)\propto (p-p_{c})^{\beta }}$

Percolación eléctrica

Para la descripción de la percolación eléctrica, identificamos los enlaces ocupados del modelo de percolación de enlace con el componente metálico que tiene una conductividad . Y el componente dieléctrico con conductividad corresponde a enlaces no ocupados. Consideramos los dos casos siguientes bien conocidos de una mezcla conductor-aislante y una mezcla superconductor-conductor . ${\displaystyle \sigma _{m}}$ ${\displaystyle \sigma _{d}}$

Mezcla conductora-aislante

En el caso de una mezcla conductor-aislante tenemos . Este caso describe el comportamiento, si se alcanza el umbral de percolación desde arriba: ${\displaystyle \sigma _{d}=0}$

${\displaystyle \sigma _{DC}(p)\propto \sigma _{m}(p-p_{c})^{t}}$

para ${\displaystyle p>p_{c}}$

Por debajo del umbral de percolación no tenemos conductividad, debido al aislante perfecto y a los grupos metálicos finitos. El exponente t es uno de los dos exponentes críticos para la percolación eléctrica.

Mezcla superconductor-conductor

En el otro caso bien conocido de una mezcla superconductor -conductor tenemos . Este caso es útil para la descripción que se encuentra a continuación del umbral de percolación: ${\displaystyle \sigma _{m}=\infty }$

${\displaystyle \sigma _{DC}(p)\propto \sigma _{d}(p_{c}-p)^{-s}}$

para ${\displaystyle p<p_{c}}$

Ahora bien, por encima del umbral de percolación, la conductividad se vuelve infinita, debido a los infinitos cúmulos superconductores. Y también obtenemos el segundo exponente crítico s para la percolación eléctrica.

Conductividad cerca del umbral de percolación

En la región alrededor del umbral de percolación, la conductividad asume una forma de escala: ^[2]

${\displaystyle \sigma (p)\propto \sigma _{m}|\Delta p|^{t}\Phi _{\pm }\left(h|\Delta p|^{-s-t}\right)}$

con y ${\displaystyle \Delta p\equiv p-p_{c}}$ ${\displaystyle h\equiv {\frac {\sigma _{d}}{\sigma _{m}}}}$

En el umbral de percolación, la conductividad alcanza el valor: ^[1]

${\displaystyle \sigma _{DC}(p_{c})\propto \sigma _{m}\left({\frac {\sigma _{d}}{\sigma _{m}}}\right)^{u}}$

con ${\displaystyle u={\frac {t}{t+s}}}$

Valores para los exponentes críticos

En diferentes fuentes existen algunos valores diferentes para los exponentes críticos s, t y u en 3 dimensiones:

Constante dieléctrica

La constante dieléctrica también muestra un comportamiento crítico cerca del umbral de percolación. Para la parte real de la constante dieléctrica tenemos: ^[1]

${\displaystyle \epsilon _{1}(\omega =0,p)={\frac {\epsilon _{d}}{|p-p_{c}|^{s}}}}$

El modelo RC

Dentro del modelo RC, los enlaces en el modelo de percolación están representados por resistencias puras con conductividad para los enlaces ocupados y por capacitores perfectos con conductividad (donde representa la frecuencia angular ) para los enlaces no ocupados. Ahora la ley de escala toma la forma: ^[2] ${\displaystyle \sigma _{m}=1/R}$ ${\displaystyle \sigma _{d}=iC\omega }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \sigma (p,\omega )\propto {\frac {1}{R}}|\Delta p|^{t}\Phi _{\pm }\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}|\Delta p|^{-(s+t)}\right)}$

Esta ley de escala contiene una variable de escala puramente imaginaria y una escala de tiempo crítica.

${\displaystyle \tau ^{*}={\frac {1}{\omega _{0}}}|\Delta p|^{-(s+t)}}$

que diverge si se aproxima el umbral de percolación tanto desde arriba como desde abajo. ^[2]

Conductividad para redes densas

Para una red densa, los conceptos de percolación no son directamente aplicables y la resistencia efectiva se calcula en términos de propiedades geométricas de la red. ^[4] Suponiendo que la longitud de los bordes << el espaciado de los electrodos y que los bordes están distribuidos uniformemente, se puede considerar que el potencial cae uniformemente de un electrodo a otro. La resistencia de la lámina de una red aleatoria de este tipo ( ) se puede escribir en términos de densidad de bordes (alambres) ( ), resistividad ( ), ancho ( ) y espesor ( ) de los bordes (alambres) como: ${\displaystyle R_{sn}}$ ${\displaystyle N_{E}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle R_{sn}={\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho }{wt{\sqrt {N_{E}}}}}}$

Véase también

• Teoría de la percolación

Referencias

1. Efros, AL; Shklovskii, BI (1976). "Comportamiento crítico de la conductividad y la constante dieléctrica cerca del umbral de transición metal-no metal". Phys. Status Solidi B . 76 (2): 475–485. Código Bibliográfico :1976PSSBR..76..475E. doi :10.1002/pssb.2220760205.
2. Clerc, JP; Giraud, G.; Laugier, JM; Luck, JM (1990). "La conductividad eléctrica de sistemas binarios desordenados, cúmulos de percolación, fractales y modelos relacionados". Adv. Phys . 39 (3): 191–309. Bibcode :1990AdPhy..39..191C. doi :10.1080/00018739000101501.
3. Bergman, DJ; Stroud, D. (1992). "Propiedades físicas de medios macroscópicamente no homogéneos". En H. Ehrenreich y D. Turnbull (ed.). Física del estado sólido . Vol. 46. Academic Press inc. págs. 147–269. doi :10.1016/S0081-1947(08)60398-7. ISBN . 9780126077469.
4. Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, NS; Kulkarni, G. U. (2017). "Distribución de corriente en redes de nanocables conductores". Journal of Applied Physics . 122 (4): 045101. Bibcode :2017JAP...122d5101K. doi :10.1063/1.4985792.