Ultraproducto

Construcción matemática

El ultraproducto es una construcción matemática que aparece principalmente en álgebra abstracta y lógica matemática , en particular en teoría de modelos y teoría de conjuntos . Un ultraproducto es un cociente del producto directo de una familia de estructuras . Todos los factores necesitan tener la misma signatura . La ultrapotencia es el caso especial de esta construcción en la que todos los factores son iguales.

Por ejemplo, las ultrapotencias pueden utilizarse para construir nuevos campos a partir de los ya existentes. Los números hiperreales , una ultrapotencia de los números reales , son un caso especial de esto.

Algunas aplicaciones sorprendentes de los ultraproductos incluyen pruebas muy elegantes del teorema de compacidad y del teorema de completitud , el teorema de ultrapotencia de Keisler , que da una caracterización algebraica de la noción semántica de equivalencia elemental, y la presentación de Robinson-Zakon del uso de superestructuras y sus monomorfismos para construir modelos no estándar de análisis, lo que llevó al crecimiento del área de análisis no estándar , que fue iniciada (como una aplicación del teorema de compacidad) por Abraham Robinson .

Definición

El método general para obtener ultraproductos utiliza un conjunto de índices, una estructura (que se supone que no está vacía en este artículo) para cada elemento (todos con la misma firma ) y un ultrafiltro en ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I.}$

Para dos elementos cualesquiera y del producto cartesiano, declare que son -equivalentes , escrito o si y solo si el conjunto de índices en los que coinciden es un elemento de en símbolos, que compara componentes solo en relación con el ultrafiltro. Esta relación binaria es una relación de equivalencia ^{[prueba 1]} en el producto cartesiano ${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle b_{\bullet }=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\textstyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }}$ ${\displaystyle a_{\bullet }=_{\mathcal {U}}b_{\bullet },}$ ${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}};}$ $${\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }\;\iff \;\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}.}$

El ultraproducto del módulo ${\displaystyle M_{\bullet }=\left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ es el conjunto cociente de con respecto a y, por lo tanto, a veces se denota por o ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }.}$

Explícitamente, si la clase de equivalencia de un elemento se denota por entonces el ultraproducto es el conjunto de todas las clases de equivalencia ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$ $${\displaystyle a_{\mathcal {U}}:={\big \{}x\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\;:\;x\sim a{\big \}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ $${\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\;=\;\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\;:=\;\left\{a_{\mathcal {U}}\;:\;a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\right\}.}$$

Aunque se asumió que era un ultrafiltro, la construcción anterior se puede llevar a cabo de manera más general siempre que sea simplemente un filtro en cuyo caso el conjunto de cocientes resultante se denomina ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/\,{\mathcal {U}}}$producto reducido

Cuando es un ultrafiltro principal (lo que ocurre si y solo si contiene su núcleo ), entonces el ultraproducto es isomorfo a uno de los factores. Y por lo tanto, normalmente, no es un ultrafiltro principal , lo que ocurre si y solo si es libre (es decir , ), o equivalentemente, si cada subconjunto cofinito de es un elemento de Dado que cada ultrafiltro en un conjunto finito es principal, el conjunto índice es, en consecuencia, también por lo general infinito. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}=\varnothing }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle I}$

El ultraproducto actúa como un espacio de productos de filtro donde los elementos son iguales si son iguales solo en los componentes filtrados (los componentes no filtrados se ignoran en la equivalencia). Se puede definir una medida finitamente aditiva en el conjunto de índices diciendo si y en caso contrario. Entonces, dos miembros del producto cartesiano son equivalentes precisamente si son iguales casi en todas partes en el conjunto de índices. El ultraproducto es el conjunto de clases de equivalencia así generado. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle m(A)=1}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle m(A)=0}$

Las operaciones finitas sobre el producto cartesiano se definen puntualmente (por ejemplo, si es una función binaria entonces ). Otras relaciones se pueden extender de la misma manera: donde denota la clase de equivalencia de con respecto a En particular, si cada es un cuerpo ordenado entonces también lo es el ultraproducto. ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle a_{i}+b_{i}=(a+b)_{i}}$ $${\displaystyle R\left(a_{\mathcal {U}}^{1},\dots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right)~\iff ~\left\{i\in I:R^{M_{i}}\left(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n}\right)\right\}\in {\mathcal {U}},}$$ ${\displaystyle a_{\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sim .}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Ultrapoder

Una ultrapotencia es un ultraproducto para el cual todos los factores son iguales. Explícitamente, la ${\displaystyle M_{i}}$La ultrapotencia de un conjuntomódulo ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es el ultraproductode la familia indexadadefinida porpara cada índice La ultrapotencia puede denotarse poro (ya quea menudo se denota por) por ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}={\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }}$ ${\displaystyle M_{\bullet }:=\left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M_{i}:=M}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M}$ ${\displaystyle M^{I}}$ $${\displaystyle M^{I}/{\mathcal {U}}~:=~\prod _{i\in I}M\,/\,{\mathcal {U}}\,}$$

Para cada let denote el mapa constante que es idénticamente igual a Este mapa/tupla constante es un elemento del producto cartesiano y por lo tanto la asignación define un mapa . ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle (m)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I\to M}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle M^{I}={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M}$ ${\displaystyle m\mapsto (m)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M\to {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M.}$La incrustación natural deinto ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M}$es el mapaque envía un elementoa laclase de equivalencia de la tupla constante ${\displaystyle M\to {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle (m)_{i\in I}.}$

Ejemplos

Los números hiperreales son el ultraproducto de una copia de los números reales por cada número natural, respecto de un ultrafiltro sobre los números naturales que contiene todos los conjuntos cofinitos. Su orden es la extensión del orden de los números reales. Por ejemplo, la secuencia dada por define una clase de equivalencia que representa un número hiperreal que es mayor que cualquier número real. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{i}=i}$

De manera análoga, se pueden definir números enteros no estándar , números complejos no estándar , etc., tomando el ultraproducto de copias de las estructuras correspondientes.

Como ejemplo de la transferencia de relaciones al ultraproducto, considere la secuencia definida por Porque para todos se sigue que la clase de equivalencia de es mayor que la clase de equivalencia de de modo que puede interpretarse como un número infinito que es mayor que el construido originalmente. Sin embargo, sea para no igual a pero El conjunto de índices en los que y coinciden es miembro de cualquier ultrafiltro (porque y coinciden en casi todas partes), por lo que y pertenecen a la misma clase de equivalencia. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{i}=2i.}$ ${\displaystyle \psi _{i}>\omega _{i}=i}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \psi _{i}=2i}$ ${\displaystyle \omega _{i}=i,}$ ${\displaystyle \chi _{i}=i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 7,}$ ${\displaystyle \chi _{7}=8.}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi }$

En la teoría de cardinales grandes , una construcción estándar es tomar el ultraproducto de todo el universo de teoría de conjuntos con respecto a algún ultrafiltro cuidadosamente elegido. Las propiedades de este ultrafiltro tienen una fuerte influencia en las propiedades (de orden superior) del ultraproducto; por ejemplo, si es -completo, entonces el ultraproducto volverá a estar bien fundado. (Véase cardinal medible para el ejemplo prototípico). ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Teorema de Łoś

El teorema de Łoś, también llamado teorema fundamental de los ultraproductos , se debe a Jerzy Łoś (el apellido se pronuncia [ˈwɔɕ] , aproximadamente "wash"). Afirma que cualquier fórmula de primer orden es verdadera en el ultraproducto si y solo si el conjunto de índices tales que la fórmula es verdadera en es un miembro de Más precisamente: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Sea una firma, un ultrafiltro sobre un conjunto y para cada sea una -estructura. Sea o el ultraproducto de con respecto a Entonces, para cada donde y para cada -fórmula ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/{\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$ ${\displaystyle a^{k}=\left(a_{i}^{k}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \phi ,}$ $${\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\models \phi \left[a_{\mathcal {U}}^{1},\ldots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right]~\iff ~\{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\in {\mathcal {U}}.}$$

El teorema se prueba por inducción sobre la complejidad de la fórmula. El hecho de que sea un ultrafiltro (y no sólo un filtro) se utiliza en la cláusula de negación, y el axioma de elección es necesario en el paso del cuantificador existencial. Como aplicación, se obtiene el teorema de transferencia para campos hiperreales . ${\displaystyle \phi .}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Ejemplos

Sea una relación unaria en la estructura y forma la ultrapotencia de Entonces el conjunto tiene un análogo en la ultrapotencia, y las fórmulas de primer orden que involucran también son válidas para Por ejemplo, sean los números reales, y sea válido si es un número racional. Entonces en podemos decir que para cualquier par de racionales y existe otro número tal que no es racional, y Dado que esto se puede traducir a una fórmula lógica de primer orden en el lenguaje formal relevante, el teorema de Łoś implica que tiene la misma propiedad. Es decir, podemos definir una noción de los números hiperracionales, que son un subconjunto de los hiperreales, y tienen las mismas propiedades de primer orden que los racionales. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle S=\{x\in M:Rx\}}$ ${\displaystyle {}^{*}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {}^{*}S.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Rx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x<z<y.}$ ${\displaystyle {}^{*}S}$

Consideremos, sin embargo, la propiedad de Arquímedes de los números reales, que establece que no existe ningún número real tal que para cada desigualdad en la lista infinita. El teorema de Łoś no se aplica a la propiedad de Arquímedes, porque esta no puede enunciarse en lógica de primer orden. De hecho, la propiedad de Arquímedes es falsa para los hiperreales, como lo demuestra la construcción del número hiperreal anterior. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>1,\;x>1+1,\;x>1+1+1,\ldots }$ ${\displaystyle \omega }$

Límites directos de los ultrapoderes (ultralímites)

En la teoría de modelos y la teoría de conjuntos , se suele considerar el límite directo de una secuencia de ultrapotencias. En la teoría de modelos , esta construcción puede denominarse ultralímite o ultrapotencia limitante .

Comenzando con una estructura y un ultrafiltro, se forma una ultrapotencia. Luego se repite el proceso para formar y así sucesivamente. Para cada uno hay una incrustación diagonal canónica en etapas límite, como la que forma el límite directo de etapas anteriores. Se puede continuar hasta el transfinito. ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0},}$ ${\displaystyle A_{1}.}$ ${\displaystyle A_{2},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n}\to A_{n+1}.}$ ${\displaystyle A_{\omega },}$

Mónada ultraproducto

La mónada ultrafiltro es la mónada de codensidad de la inclusión de la categoría de conjuntos finitos en la categoría de todos los conjuntos . ^[1]

De manera similar, laLa mónada ultraproducto es la mónada de codensidad de la inclusión de la categoríade familias de conjuntos finitamente indexadas en la categoríade todas las familias de conjuntos indexadas . Por lo tanto, en este sentido, los ultraproductos son categóricamente inevitables. ^[1] Explícitamente, un objeto de consiste en un conjunto índice no vacíoy una familia indexada de conjuntos. Un morfismoentre dos objetos consiste en una funciónentre los conjuntos índice y unafamilia indexadade función La categoríaes una subcategoría completa de esta categoría de queconsiste en todos los objetoscuyo conjunto índicees finito. La mónada de codensidad de la función de inclusiónestá entonces, en esencia, dada por ${\displaystyle \mathbf {FinFam} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fam} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fam} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(N_{i}\right)_{j\in J}\to \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \phi :I\to J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \left(\phi _{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle \phi _{j}:M_{\phi (j)}\to N_{j}.}$ ${\displaystyle \mathbf {FinFam} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fam} }$ ${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {FinFam} \hookrightarrow \mathbf {Fam} }$ $${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}~\mapsto ~\left(\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\right)_{{\mathcal {U}}\in U(I)}\,.}$$

Véase también

• Teorema de compacidad
• Extensor (teoría de conjuntos)  : en teoría de conjuntos, un sistema de ultrafiltros que representa una incrustación elemental que atestigua grandes propiedades cardinales.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teorema de Löwenheim-Skolem  : Existencia y cardinalidad de modelos de teorías lógicas
• Principio de transferencia  : concepto en la teoría de modelos
• Ultrafiltro  – Filtro máximo adecuado

Notas

1. Leinster, Tom (2013). "Codensidad y la mónada del ultrafiltro" (PDF) . Teoría y aplicaciones de categorías . 28 : 332–370. arXiv : 1209.3606 . Código Bibliográfico :2012arXiv1209.3606L.

Pruebas

1. Aunque se supone que es un ultrafiltro sobre esta prueba solo se requiere que sea un filtro sobre En todo momento, sea y elementos de La relación siempre se cumple ya que es un elemento de filtro Por lo tanto, la reflexividad de se sigue de la de igualdad De manera similar, es simétrica ya que la igualdad es simétrica. Para la transitividad , suponga que y son elementos de queda por demostrar que también pertenece a La transitividad de la igualdad garantiza (ya que si entonces y ). Debido a que es cerrado bajo intersecciones binarias, Dado que es cerrado hacia arriba en contiene cada superconjunto de (que consta de índices); en particular, contiene ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{i}\right)_{i\in I},b_{\bullet }=\left(b_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle c_{\bullet }=\left(c_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}.}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\,\sim \,a_{\bullet }}$ ${\displaystyle \{i\in I:a_{i}=a_{i}\}=I}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \,=.\,}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle R=\{i:a_{i}:=b_{i}\}}$ ${\displaystyle S:=\{i:b_{i}=c_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}};}$ ${\displaystyle T:=\{i:a_{i}=c_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle R\cap S\subseteq T}$ ${\displaystyle i\in R\cap S}$ ${\displaystyle a_{i}=b_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}=c_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle R\cap S}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Modelos y ultraproductos: una introducción (reimpresión de la edición de 1974). Dover Publications . ISBN 0-486-44979-3.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (2000) [1981]. Un curso de álgebra universal (edición Millennium).